Лабораторная работа № 8. Определение радиуса кривизны вогнутой поверхности методом катающегося шарика

Цель работы: изучить законы движения катающегося по сферической вогнутой поверхности шарика, рассмотреть условия его гармонических колебаний и определить радиус кривизны поверхности Теоретические сведения Радиус кривизны R гладкой сферической поверхности можно определить, измерив период колебания Т шарика, катающегося по этой поверхности.

Если пренебречь потерями энергии, затрачиваемой на преодоление диссипативной силы трения, то для катающегося без проскальзывания шарика должен выполняться закон сохранения механической энергии. Центр масс C шарика движется поступательно, но, кроме того, шарик вращается относительно оси z, проходящей через точку C перпендикулярно плоскости (рис.1). Поэтому полная механическая энергия шарика.

.(1).

Здесь m — масса шарика;

— его момент инерции относительно оси z; r — радиус шарика.

Модуль угловой скорости щ шарика вокруг оси z связан с модулем скорости Vc поступательного движения центра масс соотношением.

. (2).

Подставляя (2) и выражение для Jc в (1), получаем.

.(3).

Но при качении шарика по сферической поверхности его центр масс отклоняется относительно центра O поверхности на угол ц. Из рис. 1 видно, что угол ц связан с углом поворота и шарика относительно оси z соотношением.

(4).

Где.

.

Кроме того, из прямоугольного треугольника ОВС следует, что.

.(5).

Подставляя (4) и (5) в формулу (3), выражаем полную механическую энергию шарика через угол ц:

.(6)</…

.

То.

(2).

и из формулы (1).

.

Тогда уравнение динамики имеет вид.

(3).

где J — момент инерции системы относительно мгновенной оси вращения S; знаки в уравнении (3) показывают, что моменты сил препятствуют увеличению угла отклонения ц.

При малых углах ц () это уравнение аналогично динамическому уравнению затухающих колебаний:

(4).

Где.

(5).

.(6).

Поэтому угол отклонения стрелки Д от положения равновесия изменяется по закону.

(7).

Где.

-(8).

частота затухающих колебаний; цo — угол отклонения стрелки в начальный момент времени. Колеблющаяся таким образом система является разновидностью физического маятника.

Совершив n полных колебаний за время.

t = nT.

(T — период колебаний), стрелка отклонится на угол цn (цn < цo). Так как линейное смещение a стрелки Д вдоль шкалы Н пропорционально углу поворота стрелки ц, то из (7) следует, что откуда получим.

.

Величину.

(9).

называют логарифмическим декрементом затухания.

Имеем.

(10).

Подставляя выражения (6) и (10) в формулу (8) и учитывая, что.

.

находим формулу для определения момента инерции J системы относительно мгновенной оси вращения S:

.(11).

Из формул (5), (10) и (11) определим выражение для k:

.(12).

В данной работе можно лишь приближенно оценить коэффициент трения качения. Для этого воспользуемся формулами (2) и (7). Найдем производную.

:

Максимальная скорость движения центра цилиндра A достигает при цулевом угле отклонения ц. Это условие выполняется, когда.

().

Для упрощения вычислений можно положить (амплитуда слабо уменьшается за время первого колебания).

Тогда.

.

Таким образом, максимальную скорость качения цилиндра, а также оценку для коэффициента трения качения можно описать следующей формулой.

.(13).

Под цилиндр, А подкладывают плоские пластинки из различного материала, что позволяет определить коэффициенты трения цилиндра для различных пар (цилиндр-пластинка) и сравнить полученные результаты.

Закон сохранения полной механической энергии Полная механическая энергия консервативной системы, находящейся в стационарном потенциальном поле, постоянна. Если работа сил стационарного поля над частицей не зависит от пути, пройденного частицей, а зависит только от начального и конечного положения частицы, то такие силы называются консервативными, а поле потенциальным.

Закон изменения механической энергии Приращение механической энергии частицы равно работе неконсервативных сил.

Оборудование: колебательная система в виде вращающегося массивного цилиндра, измерительная линейка.

Рабочее задание: рассчитать моменты инерции стержня при вращении относительно параллельных осей, проверить теорему Штейнера.

Порядок выполнения работы.

• 1. Поставить колебательную систему на металлические пластинки из одного металла так, чтобы она не касалась стенок прорези, а стрелка показывала нуль.
• 2. Задать начальное отклонение (амплитуду) о = 40 мм. Определить время t для n полных колебаний (n=10), амплитуду n n-го колебания и величину периода по формуле

T=t/n.

Повторить измерения 5 раз. Начальная амплитуда о должна быть одинаковой. Данные измерения занести в табл.1 и вычислить средние значения и .

3. Измерения повторить для пластинок из двух других металлов и данные также занести в табл.1.

Содержание отчета По средним значениям и по формулам (9),(11),(12) и (13) определить логарифмический декремент затухания и, момент инерции J, коэффициент пропорциональности k и коэффициент трения качения д для каждой пары металлов (цилиндр-пластинка). Значения m, l и R даны на установке.

Сравнить полученные в трех опытах значения момента инерции J, вычислить его среднее значение. Все данные занести в табл.2.

Таблица 1.

m=…, R=…, l =…,|AD|=…, aо=…

Таблица 2.

=.

Контрольные вопросы.

• 1. Каков механизм возникновения момента сил трения качения?
• 2. Каков физический смысл коэффициента трения качения? В чем причина затухания колебаний системы?
• 3. Чему равен момент сил сопротивления качению, как он направлен?
• 4. Когда сохраняется и когда изменяется полная механическая энергия системы?
• 5. Что такое логарифмический декремент затухания?
• 6. Что такое динамическое уравнение затухающих колебаний?
• 7. Выведите расчетные формулы для определения момента инерции J (11) и коэффициента К (12).

Список использованных источников

.

1. Савельев И. В. Курс общей физики. Т.1. Механика. Молекулярная физика. — СПб.: Лань, 2007. — 432 с.- гл. III, § 21, 24, гл. VII, § 53, 54.