Всякий раз, оценивая неизбежные с течением времени изменения в окружающем нас мире, мы пытаемся проанализировать происходящие процессы, чтобы выделить их наиболее существенные черты. Один из первых на этом пути встает вопрос: как происходят характерные для этого явления изменения — непрерывно или дискретно, т. е. скачкообразно. Равномерно ли понижается курс валюты или обваливается, происходит постепенная эволюция или революционный скачок? Чтобы унифицировать качественные и количественные оценки происходящего, следует абстрагироваться от конкретного содержания и изучить проблему в терминах функциональной зависимости. Это позволяет сделать теория пределов.
Определение непрерывности функции
Непрерывность функции интуитивно связано с тем, что ее графиком является сплошная, нигде не прерывающаяся кривая. Мы вычерчиваем график такой функции, не отрывая ручки от бумаги. Если функция задана таблично, то о её непрерывности, строго говоря, судить нельзя, потому что при заданном шаге таблицы поведение функции в промежутках не определено.
В реальности при непрерывности имеет место следующее обстоятельство: если параметры, характеризующие ситуацию, немного изменить, то немного изменится и ситуация. Здесь важно не то, что ситуация изменится, а то, что она изменится «немного».
Сформулируем понятие непрерывности на языке приращений. Пусть некоторое явление описывается функцией и точка a принадлежит области определения функции. Разность называется приращением аргумента в точке a, разность-приращением функции в точке a.
Функция непрерывна в точке a, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции :
Исследовать на непрерывность функцию в точке.
Чем меньше приращение Dx, тем меньше Dy. покажем это аналитически. Приращение аргумента равно, тогда приращение функции в этой точке будет равно.
.
Отсюда видно, что если, то и:
.
Дадим еще одно определение непрерывности функции.
Определение 10.2. Функция называется непрерывной в точке а, если:
- 1) она определена в точке а, и некоторой ее окрестности;
- 2) односторонние пределы существуют и равны между собой:
;
3) предел функции при х®а равен значению функции в этой точке:
.
Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то говорят, что функция претерпевает разрыв.
Это определение является рабочим для установления непрерывности в точке. Следуя его алгоритму и отмечая совпадения и несовпадения требований определения и конкретного примера, можно сделать вывод о непрерывности функции в точке.
В определении 2 четко проступает идея близости, когда мы вводили понятие предела. При неограниченном приближении аргументаx к предельному значению a, непрерывная в точке a функция f (x) сколь угодно близко приближается к предельному значению f (a).