Построение фазовой картины механической системы с хаотическим поведением

1.

Введение

Фазовая картина дает наглядное представление о движении объектов. На ней четко прослеживаются изменения поведения объекта при смене параметров его движения.

Целью данной работы является построение фазовой картины механической системы с сопутствующим изменением параметров движения одного из объектов. Актуальность работы заключается в том, что графическое представление процессов значительно облегчает работу с ними. Имея теоретическое представление возможного результата эксперимента, можно предсказать дальнейшее поведение системы, а данные, полученные на выходе из программы, будут являться подтверждением доводов.

В данной работе были рассмотрены два вида удара: абсолютно упругий и неупругий. При неупругом ударе учитывался материал, из которого изготовлены объекты, входящие в механическую систему, и соответствующий ему коэффициент восстановления скорости.

Ключевые слова: механическая система, фазовая картина, абсолютно упругий удар, неупругий удар, коэффициент восстановления.

1. Введение

2. Фазовая картина

3. Столкновение объектов

3.1 Абсолютно упругий удар

3.2 Неупругий удар

4. Исследование движения шарика с использованием программного обеспечения

4.1 Абсолютно упругий удар

4.1.1 Платформа неподвижна

4.1.2 Платформа движется равномерно вверх

4.1.3 Платформа движется равноускоренно вверх

4.2 Неупругий удар

4.2.1 Платформа неподвижна

4.2.1.1 Материал: дерево

4.2.1.2 Материал: сталь 12

4.2.1.3 Материал: стекло

4.2.2 Платформа движется равномерно вверх

4.2.2.1 Материал: дерево

4.2.2.2 Материал: сталь

4.2.2.3 Материал: стекло

4.2.3 Платформа движется равноускоренно вверх

4.2.3.1 Материал: дерево

4.2.3.2 Материал: сталь 1

4.2.3.2 Материал: стекло

5. Листинг программы

5.1 Абсолютный удар

5.2 Неупругий удар

6. Заключение

7. Список используемых источников0

2. Фазовая картина Фазовая плоскость — координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие-либо две переменные, называемые фазовыми координатами, однозначно определяющие состояние системы.

Как правило, на оси абсцисс фазовой плоскости откладывается значения параметра x, а на оси ординат — первая производная x по времени.

Каждая точка фазовой плоскости отражает одно состояние системы и называется фазовой, изображающей или представляющей точкой. Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением этой точки. След от движения изображающей точки называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий составляет фазовую картину.

3. Столкновение объектов Выделяют три вида столкновения объектов: абсолютно неупругое, абсолютно упругое и промежуточный случай — неупругое. Мы рассмотрим только два из них: абсолютно упругое и неупругое. Объектами являются шарик и платформа. В данной работе рассмотрены три варианта поведения платформы:

1) платформа неподвижна

2) платформа движется равномерно вверх

3) платформа движется равноускоренно вверх графический движение удар фазовый

3.1 Абсолютно упругий удар В результате абсолютно упругого столкновения внутренняя энергия объектов не меняется, а поэтому не меняется и кинетическая энергия системы.

В данной работе использовалось только центральное столкновение объектов — то есть, такое столкновение, при котором оба объекта до и после столкновения движутся по одной и той же прямой, так как у обеих частиц скорости направлены вдоль прямой, соединяющей их центры масс.

Главной целью является определение скорости шарика после соударения с платформой, а также определение его положения в каждый момент времени.

Использовался закон сохранения импульса: в инерциальной системе отсчета импульс замкнутой системы частиц остается постоянным, т. е. не меняется со временем

Другими словами:

где

m1 — масса шарика

m2- масса платформы

и — скорость шарика до и после соударения соответственно

и — скорость платформы до и после соударения соответственно В данной работе платформа выбрана в качестве более массивного объекта так, что ее скорость не изменяется после столкновения с шариком.

Тогда закон сохранения энергии приобретает вид:

=

В проекции на единст

венную имеющуюся ось Y это уравнение приобретает вид:

1) в первом случае, когда платформа неподвижна:

' = - - здесь знак минуса говорит о смене направления движения

2) во втором и третьем случае, когда платформа движется равномерно вверх (2 случай) или равноускоренно вверх (3 случай):

' = - ;

3.2 Неупругий удар В результате неупругого столкновения внутренняя энергия разлетающихся объектов или же одного из них изменяется, а, следовательно, изменяется и суммарная кинетическая энергия системы.

Количество энергии, потерянной шариком при каждом столкновении, называется энергией остаточной деформации, которая в большей степени характеризуется коэффициентом восстановления скорости K, определяемым экспериментально.

K = ' - '

Если один из объектов является довольно массивным — как в нашем случае — и при столкновении не изменяет свою скорость, то коэффициент К определяется по формуле:

' ;

K = +

Мы рассматриваем три случая:

1) шарик и платформа выполнены из дерева, К = 0.25

1) шарик и платформа выполнены из стали, К = 0.30

1) шарик и платформа выполнены из стекла, К = 0.88

4. Исследование движения шарика с использованием программного обеспечения

4.1 Абсолютно упругий удар

4.1.1 Платформа неподвижна

1) график зависимости y=y (t)

2) график зависимости ?= ?(y)

4.1.2. Платформа движется равномерно вверх

1) график зависимости y=y (t)

2) график зависимости ?= ?(y)

4.1.3 Платформа движется равноускоренно вверх

1) график зависимости y=y (t)

2) график зависимости ?= ?(y)

4.2 Неупругий удар

4.2.1 Платформа неподвижна

4.2.1.1 Материал: дерево

1) график зависимости y=y (t)

2) график зависимости ?= ?(y)

4.2.1.2 Материал: сталь

1) график зависимости y=y (t)

2) график зависимости ?= ?(y)

4.2.1.3 Материал: стекло

1) график зависимости y=y (t)

2) график зависимости ?= ?(y)

4.2.2 Платформа движется равномерно вверх

4.2.2.1 Материал: дерево

1) график зависимости y=y (t)

2) график зависимости ?= ?(y)

4.2.2.2 Материал: сталь

1) график зависимости y=y (t)

2) график зависимости ?= ?(y)

4.2.2.3 Материал: стекло

1) график зависимости y=y (t)

2) график зависимости ?= ?(y)

4.2.3 Платформа движется равноускоренно вверх

4.2.3.1 Материал: дерево

1) график зависимости y=y (t)

2) график зависимости ?= ?(y)

4.2.3.2 Материал: сталь

1) график зависимости y=y (t)

2) график зависимости ?= ?(y)

4.2.3.2 Материал: стекло

1) график зависимости y=y (t)

2) график зависимости ?= ?(y)

5. Листинг программы

5.1 Абсолютный удар

#include

#include

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

int main ()

{

float v [10 000]; //массив скоростей шарика

float y [10 000]; //массив координат шарика

float coord=0; //координата платформы

float vel=0; //скорость платформы

float a; //ускорение шарика

float g; //ускорение свободного падения

float T; //максимальное время

float t=0; //текущее время

float dt=0; //промежутки времени

float h; //высота, с которой падает шарик

float err; //погрешность

float err2;

float N; //

float hmax; //

float a1; //ускорение платформы

float A; //амплитуда колебаний платформы

float w; //циклическая частота платформы

float q; //начальная фаза

float k; //коэффициент восстановления

g=9.81;

T=10;

dt=0.001;

err=0.04;

err2=0.02;

h=10;

v[0]=0;

y[0]=h;

a=-g;

vel=2;

a1=1.5;

coord=0;

FILE *print;

print=fopen («print.txt» ," w+");

FILE *phase;

phase=fopen («phase.txt» ," w+");

while (t<=T) //до тех пор, пока не истечет заданное время, выполняется цикл

{

v[1]=v[0]+a*dt;

y[1]=y[0]+v[0]*dt;

vel=vel+a1*dt;

coord=coord+vel*dt;

if (fabs (y[0]-coord)<=err && v[0]<0 && vel>=0) //если удар

{

v[1]=-v[0]+vel;

}

if (fabs (y[0]-coord)<=err2 && v[0]>0 && vel>0) //если удар

{

v[1]=v[0]+vel;

}

v[0]=v[1];

y[0]=y[1];

t=t+dt;

//запись в файл

fprintf (print, «%ft %fn», t, y[1]);

fprintf (phase, «%ft %fn», y[1], v[1]);

}

}

5.2 Неупругий удар

#include

#include

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

int main ()

{

float v [10 000]; //массив скоростей шарика

float y [10 000]; //массив координат шарика

float coord=0; //координата платформы

float vel=0; //скорость платформы

float a; //ускорение шарика

float g; //ускорение свободного падения

float T; //максимальное время

float t=0; //текущее время

float dt=0; //промежутки времени

float h; //высота, с которой падает шарик

float err; //погрешность

float err2;

float N; //

float hmax; //

float a1; //ускорение платформы

float A; //амплитуда колебаний платформы

float w; //циклическая частота платформы

float q; //начальная фаза

float k; //коэффициент восстановления

int variant;

g=9.81;

T=10;

dt=0.001;

err=0.04;

err2=0.02;

h=10;

v[0]=0;

y[0]=h;

a=-g;

//значения коэффициента восстановления для разных материалов

k=0.88; // материал: стекло

vel=2;

a1=0;

coord=0;

// создаем и открываем файлы

FILE *print;

print=fopen («print.txt» ," w+");

FILE *phase;

phase=fopen («phase.txt» ," w+");

while (t<=T)

//до тех пор, пока не истечет заданное время

// выполняется цикл

{

v[1]=v[0]+a*dt;

y[1]=y[0]+v[0]*dt;

vel=vel+a1*dt;

coord=coord+vel*dt;

if ((fabs (y[0]-coord)<=err) && (v[0]<0)) //если удар

{

if (-v[0]

{

v[1]=vel*(1+sqrt (k))+v[0]*sqrt (k);

}

if (-v[0]>=vel)

{

v[1]=vel;

}

}

if ((fabs (y[0]-coord)<=err2) && (v[0]>0)) //если удар

{

if (v[0]>vel)

{

v[1]=vel*(1-sqrt (k))+v[0]*sqrt (k);

}

if (v[0]<=vel)

{

v[1]=vel;

}

}

//замена начальных данных для цикла

v[0]=v[1];

y[0]=y[1];

t=t+dt;

//запись в файл

fprintf (print, «%ft %fn», t, y[1]);

fprintf (phase, «%ft %fn», v[1], y[1]);

}

}

6.

Заключение

Полученные в ходе моделирования графики согласуются с предсказаниями, сделанными на основе имеющейся теоретической базы. Дальнейшее развитие этой темы позволит углубиться в изучение движения объектов, участвующих в соударении (причем, особый интерес представляет неупругое столкновение). Усовершенствование программы позволит определять новые величины, характеризующие соударение.

7. Список используемых источников

1. Савельев И. В. Курс физики. т.1. Механика. Молекулярная физика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. Лит. 1989. -352с

2. Иродов И. Е. Основные законы механики. 3-е изд., перераб. И доп. — М.: Высш. Шк. 1985. -248с

3. Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. -560с

4. Фейнман Р. Ф. — Лекции по физике