Наращивание вязкоупругого материала на упругую оболочку

ДИПЛОМ на тему: «Наращивание вязкоупругого материала на упругую оболочку»

Содержание Введение

1. Общие соотношения теории затвердевающих и растущих сред

1.1 Уравнения механики сплошных сред для затвердевающих и растущих тел

1.2 Условия для изотропно растущих сред

1.3 Реологические соотношения затвердевающих линейных вязкоупругих сред

2. Исследование цилиндрического стеклометаллокомпозита

2.1 Общие замечания о влиянии связанности

2.2 Постановка задачи

3. Затвердевание вязкоупругих материалов

3.1 Осесимметричное состояние затвердевающих сред

3.2 Решение задачи Ламе Список литературы

Введение

Широкое использование современных композитных материалов во многих отраслях промышленности обусловлено разнообразием их механических свойств. Однако последнее обстоятельство, а точнее наше недостаточное знание этих механических свойств, в которых активно проявляются линейные или нелинейные моменты, существенно сдерживает внедрение новых материалов и новых технологических процессов.

Современная теория ползучести затвердевающих (а значит стареющих) материалов, основанная на фундаментальных концепциях Больцмана и Вольтерра, получило большое развитие в последнее время, что нашло свое отражение в выходе в свет ряда фундаментальных исследований и монографий /3−14, 17−18, 20, 27−29, 30−31, 33−35/.

В свою очередь, в основе теории стареющих материалов лежит теория линейной вязкоупругости. Исследование напряженно-деформированного состояния композитных материалов невозможно без изучения физико-механических свойств материалов, составляющих композит.

В работе /5/ предлагается рассматривать затвердевающие материалы, реология которых существенно зависит от некоторого параметра называемого коэффициентом динамической вязкости.

В этом случае можно утверждать, что параметр является аналогом функции неоднородного старения.

Затвердевание многих композитных материалов происходит под действием неоднородного температурного поля и задача определения напряженно-деформированного состояния таких материалов сводится к задаче термовязкоупругости.

В процессе построения линейной вязкоупругой модели, позволяющей описать механическое поведение материала, одним из основных вопросов является выбор и построение ядер ползучести или релаксации /19, 22, 28/. Причем ядра релаксации должны удовлетворять определенным свойствам и могут строиться непосредственно, либо с помощью меры ползучести или релаксации. Преимущество такого описания поведения линейных вязкоупругих сред по сравнению с остальными реологическими моделями состоит в большой гибкости, т.к. ядро наследственности может быть произвольной функцией, которую всегда можно выбрать так, чтобы наилучшим образом приблизиться к опытным данным /29/.

Выбор метода определения ядер наследственности обусловливается также возможностью проведения программы испытаний материала по определенной методике. Например, испытания многих материалов невозможны на растяжение или сжатие.

Постановка краевой задачи наращивания однородного линейного вязкоупругого материала рассматривалась в работе /1/. Основное качественное отличие задачи наращивания заключается в наличии части внешней поверхности, на которой осуществляется наращивание, т. е. присоединение новых частиц материала. При этом условия на наращиваемой поверхности отличаются от условий на неподвижной граничной поверхности, что впервые отмечено в /5/. На границе растущего тела должны быть заданы все компоненты тензора напряжений /10−12/, на которые наложены три дополнительных условия, отражающие наличие заданного силового воздействия на наращиваемой поверхности.

Один из способов построения краевой задачи с изменяющейся границей и векторным условием на ней состоит в переходе в уравнениях механики сплошной среды и в граничных условиях к скоростям (частным производным по времени) /7, 8, 10, 17/.

Однако в классической постановке начально-краевой задачи для непрерывно наращиваемых тел /2, 7, 8, 12/ в скоростях записываются только соотношения между скоростями деформации и перемещения и уравнения совместности скоростей деформации.

В такой постановке решены задачи о наращивании вязкоупругого полого шара /14/, задача о наращивании прямоугольной полосы /9/, задача о наращивании бесконечного клина /9/, задача о наращивании вязкоупругого полого цилиндра /26/. Однако предметом исследования в этих задачах является определение напряженно-деформированного состояния в неоднородно стареющих телах, когда неоднородное старение обусловлено появлением нового материала на наращиваемой поверхности, а краевые условия на этой поверхности или выбирались нулевыми или не конкретизировались.

При решении краевых задач механики деформируемого твердого дела кроме аналитических методов широко используются и численные методы. Наиболее эффективным, а значит и наиболее распространенным является метод конечных элементов (одним из наиболее удобных аппаратов является конечноэлементный пакет «ANSYS»).

В этой работе рассмотрены общие вопросы теории затвердевающих и наращиваемых сред. При постановке задачи затвердевания основные понятия и уравнения, которыми оперирует механика деформируемого твердого тела (перемещения, деформации, напряжения) остаются традиционными.

Однако в задачах наращивания, когда отсутствует начальное состояние отсчета, традиционные определения перемещений, деформаций невозможны. Поэтому уравнения механики сплошной среды, удобно, в этом случае, формулировать в приращениях.

В работе выводится и формулируется краевое условие на растущей поверхности для приращений напряжений, исходя из условия, что на наращиваемой поверхности должны быть заданы все компоненты тензора напряжений.

Рассматривается изотропная среда (стекло) и изотропный процесс наращивания. В этом случае удается показать, что тензор напряжения на наращиваемой поверхности зависит от одной функции /17/, которая должна определяться экспериментально для каждого процесса наращивания.

Рассматривается общий подход к определению реологических свойств затвердевающих материалов и наращиваемых тел на основе модели линейного вязкоупругого материала, а также в соответствии со сформулированными условиями изотропного наращивания.

Методика данного эксперимента обусловлена в большой степени тем, что исследуемый материал относится к классу специальных материалов, специфика которого заключается в том, что под действием температурного поля происходит изменение агрегатного состояния от жидкого к вязкому и далее к твердому. Для этого материала проведение экспериментов на сжатие и растяжение невозможно, по крайней мере, на начальной степени затвердевания.

Показано также, что построенные ядра релаксации, использующие для аппроксимации экспериментальных величин сумму экспонент, удовлетворяет общим свойствам, сформулированным в /6, 7/ для ядер ползучести и релаксации неоднородно стареющих материалов.

Для определения параметров, характеризующих краевые условия на поверхности наращиваемого материала, в работе /1/ предложена методика определения законов изотропного наращивания. Методика эксперимента излагается, когда наращенный материал упругий. Параметры изотропного процесса наращивания находятся после измерения приращений деформаций в выросшем цилиндре.

Далее решается задача Ламе для неоднородно-стареющего линейного вязкоупругого длинного цилиндра, который находится в неоднородном температурном поле, и который испытывает нестационарное поддавливание на внутренней поверхности и подкреплен упругой оболочкой на внешней поверхности. Реологические свойства материала, из которого изготовлен цилиндр, описываются с помощью ядер релаксации, взятых из литературы.

Задача сводится к решению интегрального уравнения Вольтера второго рода с вырожденным ядром.

На защиту выносятся следующие основные результаты, полученные в работе:

1. Рассмотрены зависимости, характеризующие тензор напряжений на поверхности роста для изотропных материалов и изотропных процессов наращивания.

2. Исследован вопрос об адекватности реальному процессу несвязной задачи термомеханики для цилиндрического однои двухслойного композита из стекла и металла при определенных температурах

3. Решена задача Ламе для неоднородно-стареющего цилиндра, реологические свойства которого меняются под действием неоднородного температурного поля и зависят от степени затвердевания вещества.

1. Общие соотношения теории затвердевающих и растущих сред

1.1 Уравнения механики сплошных сред для затвердевающих и

растущих тел Рассмотрим затвердевающие среды, поверхности которых могут наращиваться под нагрузкой. Необходимо различать два процесса: затвердевание в объеме и образование твердой фазы вещества на поверхности наращиваемого тела.

Оба эти процесса происходят при условии, когда существенно проявляются вязкоупругие свойства материалов — линейные или нелинейные. Например, реологические свойства материалов, таких как полимеры, наполненные эластомеры, резины и т. д. изменяются в зависимости от температуры Т, давления, степени затвердевания, времени в теории старения и др. Реологические характеристики материалов другого рода, таких как лед, металлы, бетон, которые являются, по сути, кристаллическими соединениями, также могут зависеть от температуры, давления, времени в теории старения и т. д., но не зависят от коэффициента динамической вязкости. Таким образом, описание процесса затвердевания сводится к определению изменения реологических свойств (модуля упругости, ядер ползучести или релаксации, условия пластичности и т. д.) и параметров, характеризующих затвердевание /7, 15, 24, 27/.

В подобных задачах определения основных понятий, которые использует механика сплошных сред (напряжения, деформации, перемещения), остаются традиционными.

Однако, при образовании твердого состояния на поверхности, которая в процессе наращивания подвержена силовому воздействию, традиционные определения перемещений и деформаций в твердой фазе невозможны, когда отсутствует начальное состояние отсчета. Определения приращений (скоростей) деформаций и приращений напряжений остаются неизменными, поэтому удобно основные законы механики сплошных сред формулировать в приращениях /2, 10, 16, 38/.

При этом приращения напряжений должны удовлетворять уравнениям равновесия

(1.1),

а для скоростей деформаций имеем

(1.2)

Пусть уравнение наращиваемой поверхности записывается как. Если мы находимся на наращиваемой поверхности, то из традиционного краевого условия в напряжениях (- вектор единичной нормали наращиваемой поверхности, — вектор усилий на поверхности) не следует, что .

Если ввести криволинейные координаты в описании аффинных координат так, чтобы выполнялось то из равенства для линейной скорости наращивания поверхности получим:

Тогда для нормали можно записать

(1.3)

Запишем тождество

(1.4)

здесь напряжения в момент зарождения рассматриваемого элемента твердого тела.

Пусть

тогда

или .

Учитывая, что напряжения (1.4) должны удовлетворять уравнению равновесия и

то уравнение равновесия перепишется в виде

(*)

.

Т.к.

тогда, подставляя полученное в (*) и учитывая, что, имеем

(1.5)

Условие (1.5) следует рассматривать как граничное условие на растущей поверхности для приращений напряжений. Таким образом, для определения вектора приращения напряжений необходимо определить компоненты напряжений на наращиваемой поверхности.

1.2 Условия для изотропно растущих сред Рассмотрим объем V исследуемой среды, ограниченный поверхностью. Пусть на заданы перемещения, а на заданы усилия. На поверхности возможно наращивание материала (рис. 1).

Рис. 1.

Записывая уравнения механики сплошных сред (1.1) и (1.2) в приращениях, мы, естественно, должны задаться краевыми условиями также в приращениях. Если на поверхности заданы перемещения, значит, известны и приращения перемещений .

На поверхности надо задать приращения усилий, которые связаны с и соотношениями (1.5).

Для того, чтобы вычислить из (1.5) необходимо определить компоненты на наращиваемой поверхности в любой момент времени.

Но из краевых условий на известны только три компоненты напряжений .

Напряжения будут зависеть, очевидно, не только от механических свойств наращиваемого материала, но и от самого процесса наращивания. Если рассматривать такие процессы наращивания, как напыление, оледенение, затвердевание, кристаллизацию, то естественно предположить вначале, что эти процессы имеют изотропный характер и вновь образующийся материал является изотропным.

Естественно также предположить, что напряжения в зарождающемся материале связаны с усилиями и нормалью функциональной связью. Для изотропных сред и изотропных процессов наращивания эта зависимость должна быть изотропной. Установим общий вид этой зависимости.

Рис. 2.

Если на плоскости задать преобразование поворота осей координат на угол, то напряжения в новой, повернутой системе координат будут иметь вид

(1.6)

Теперь рассмотрим пространственную систему координат и осуществим преобразование поворота на угол так, чтобы ось вращения совпала с осью, которая, в свою очередь, направлена по нормали .

Следовательно, можно построить инвариантные относительно преобразования поворота функции, определяющие компоненты, , и на наращиваемой поверхности. Тогда имеем

(1.7)

а, учитывая свойство инвариантности функций f относительно преобразования поворота, также можно записать, что

(1.8)

Тогда, учитывая соотношения (1.6), из (1.7) и (1.8) получаем

Пусть, далее и _. Вновь введенные обозначения приводят к простым преобразованиям аргументов функций

Если обозначить, то соотношения (1.7) окончательно принимают вид Остановимся подробнее на анализе соотношений (1.9). Здесь левые части не зависят от угла, следовательно, и правые части этих соотношений не должны зависеть от. Для функции имеем

Теперь продифференцируем правую часть первого из соотношений (1.9)

(1.10)

Распишем тригонометрические функции, входящие в соотношение (1.10)

Аналогично получаем Введем обозначения тогда равенство (l.10) принимает вид Так как это уравнение имеет место при любом, оно будет равно нулю, если равны нулю коэффициенты при функциях от и при свободном члене, т. е.

(1.11)

Если теперь проделать аналогичные выкладки со вторым и с третьим соотношениями из системы уравнений (1.9), то получим еще две аналогичные группы уравнений.

Выделяя коэффициент при свободном члене во втором уравнении системы (1.9), получим соотношение, которое тождественно первому из соотношений (1.11). А коэффициенты при и дают следующую пару уравнений

(1.12)

Наконец, дифференцируя третье равенство в (1.9) и, выделяя множители при и (коэффициент при свободном члене отсутствует), получим последнюю пару уравнений

(1.13)

Рассмотрим подробнее полученную систему уравнений (1.11) -(1.13). Легко заметить (вычитая, например, первое соотношение (1.12) из второго соотношения (1.11)), что функция .

Далее, складывая, например, первое из соотношений (1.13) и второе из соотношений (1.12) получим, что .

Таким образом, все уравнения (1.11)-(1.13), за исключением первого уравнения (1.11) при, выполняются тождественно.

Оставшееся уравнение дает нам условие

или

Окончательно, полученные зависимости запишутся в виде

(1.14)

Для изотропных сред и изотропных процессов наращивания предполагается, что, другими словами тензор зависит только от инвариантов векторов и, т. е. от и от /25/. Тогда в общем случае тензор можно представить в виде /25/

Из условия получаем следующее уравнение Отсюда, в силу независимости векторов и получаем

и, следовательно, для изотропного процесса наращивания представляется в виде

(1.15)

где функция зависит от и от .

Если процесс наращивания не образует касательных напряжений на наращиваемой поверхности, то и функция будут зависеть только от нормального давления, а соотношение (1.15) принимает вид /17/.

(1.16)

Зависимость f в выражениях (1.15), (l.16) определяется экспериментально для каждого материала и для каждого процесса наращивания.

1.3 Реологические соотношения затвердевающих линейных

вязкоупругих сред Уравнения механики сплошных сред (1.1), (1.2), записанные в приращениях, а также краевые условия (1.5) заданные на части поверхности и, наконец, краевые условия для приращений перемещений на части поверхности

(1.17)

требуется замкнуть реологическими соотношениями, сформулированными для линейных вязкоупругих затвердевающих сред.

Определяющие соотношения в линейной вязкоупругости обычно записываются в виде /2, 6, 31/

(1.18)

(1.19)

Здесь обозначено — девиатор напряжений, — девиатор деформаций, — относительное изменение объема, — среднее напряжение, — переменный упругомгновенный модуль сдвига, — мгновенный модуль объемной деформации. Ядра релаксации характеризуют реологические свойства материала. Через обозначен момент зарождения элемента. Считаем, что момент приложения нагрузки к элементу совпадает с моментом зарождения этого элемента.

Модель линейного вязкоупругого стареющего тела, описываемая уравнениями (1.18), (1.19), отражает как возрастную неоднородность, так и структурную неоднородность затвердевавшего материала.

Из определяющих соотношений (1.18), (1.19) видно, что реология материала становится известной, если известны мгновенные модули и ядра релаксации (ядра ползучести), которые определяются экспериментально.

Мы остановимся на затвердевающих материалах, реология которых существенно зависит от некоторого параметра, называемого степенью затвердевания или, в нашем случае, степенью стеклования вещества.

Тогда определяющее соотношение, например, для девиаторов, можно записать следующим образом

(1.20)

Если уравнения механики сплошных сред и краевые условия сформулированы в приращениях, то и определяющие соотношения естественно формулировать в приращениях.

Уравнения состояния в приращениях, аналогичные уравнениям (1.20), имеют вид

(1.21)

Здесь .

Сравним соотношения (1.20) и (1.21). Для определения ядер и необходим идеальный эксперимент, при различных фиксированных значениях .

Пусть нам известно соотношение (1.20). Предположим, что — медленно меняющаяся функция, так что. Тогда дифференцируя (1.20) по времени, получим

Заметим, что в рамках допущений, и т.к.

имеем Тогда, интегрируя по частям, окончательно получаем То есть получилось соотношение (1.21), в котором Таким образом, необходимо отметить, что если — const, то среды описываемые выражениями (1.20), (1.21) ведут себя одинаково.

Если же существенно зависит от времени, то материалы, описываемые этими соотношениями, будут различны. Поэтому необходимы дополнительные эксперименты при переменном, которые дадут возможность отдать предпочтение одному из выражений (1.20) или (1.21).

В дальнейшем, если это не будет оговорено особо, используется определяющее соотношение в виде (1.21).

Аналогично можно записать уравнение состояния для объемных деформаций, в которых учитывается и объемное расширение материала /3, 6, 31/.

(1.22)

здесь — коэффициент линейного расширения материала, — усадочная деформация. Заметим, что в и можно записывать только один аргумент, так как степень затвердевания сама существенно зависит от температуры .

Монотонно возрастающая функция, изменяющаяся на отрезке, характеризует процесс отверждения исследуемых материалов. Причем, соответствует абсолютно жидкому состоянию среды, а абсолютно твердому (не абсолютно жесткому, а окончательно затвердевшему) состоянию материала.

Функция удовлетворяет следующему кинетическому уравнению /15, 32/.

где функция характеризует скорость реакции отверждения в зависимости от достигнутой степени стеклования и температуры.

Эта функция может быть аппроксимирована зависимостью, составляющей известный закон Аррениуса /15, 32/

(1.23),

где U — энергия активизации при затвердевании, — постоянная Больцмана.

Тогда кинетическое уравнение для запишется в виде

(1.24)

Усадочная деформация удовлетворяет кинетическому уравнению, в котором снова отражена зависимость от температуры и от глубины затвердевания.

(1.25)

Функции определяются экспериментально, они учитывают влияние параметра на характер изменения функций и .

Таким образом, напряженно-деформированное состояние, степень затвердевания, интенсивность внутренних источников тепла и усадочная деформация существенно зависят от температуры. Следовательно, к уже записанным кинетическим уравнениям и уравнениям механики сплошной среды следует присоединить уравнение теплопроводности.

Температурная зависимость вязкости в широком диапазоне температур может быть с достаточной для расчета точностью описана эмпирическим уравнением ФулчераТаммана

где — эмпирические постоянные для стекла определенного состава, следовательно

.

Кроме того, нами был исследован вопрос об адекватности реальному процессу несвязной задачи термомеханики для стекла и металла при определенных температурах. Он будет рассмотрен в следующем пункте.

Неоднородное, нестационарное температурное поле, изменяющееся в процессе затвердевания, задается следующим дифференциальным уравнением /37/

(1.26)

где — удельная теплоемкость материала, — удельный вес и — коэффициент теплопроводности, — оператор Лапласа.

Через обозначена функция, характеризующая интенсивность источников тепла в процессе затвердевания.

В самом общем случае коэффициенты, и являются функциями от координат, температуры и степени затвердевания.

К уравнению (1.26) следует добавить граничные и начальные условия.

Должно быть известно начальное распределение температуры

(1.27)

В общем случае граничных условий на одной части поверхности задается температура, как функция времени, например

(1.28)

на другой части поверхности имеет место теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. Если температура внешней среды, то

(1.29)

здесь — коэффициент теплопередачи.

Таким образом, для того, чтобы определить напряженное деформированное состояние затвердевающего и наращиваемого тела, необходимо решить систему дифференциальных уравнений, в которую входят уравнения механики сплошных сред в приращениях (1.1), (1.2); определяющие соотношения в приращениях (1.21), (1.22). Эта система уравнений должна удовлетворять краевым условиям (заданным также в приращениях) (1.15) и (1.17). Кроме того, прежде чем решать исходную систему уравнений необходимо решить задачу об отыскании неоднородного температурного поля (1.26)-(1.29) и определить функции, и из уравнений (1.23)-(1.25).

2. Исследование цилиндрического стеклометаллокомпозита

2.1 Общие замечания о влиянии связанности

Для заданной в пространстве регулярной области D + B с ограничивающей поверхностью B существует не более одной системы однозначных функций и класса C^(1), и функций и класса C⁽²⁾, для точки P (x₁, x₂, x₃) в области D + B при t 0, которые удовлетворяют следующим зависимостям:

для P в области D при t > 0

(2.1)

(2.2)

для P в области D + B при t 0

(2.3)

(2.4)

для P на поверхности B при t > 0

для P в области D при t = 0

где и — положительные величины.

Указанными выше уравнениями описывается общая теория поведения сплошной среды. Указанная краевая задача представляет значительные математические трудности, так как она объединяет теорию упругости с теорией теплопроводности при переходном режиме. К счастью, в большинстве обычных прикладных задач можно без значительной погрешности ввести некоторые упрощающие допущения. Главнейшие из таких допущений заключаются в том, что в уравнении энергии (2.1) опускается член, отражающий механическую связанность, а в уравнениях движения (2.2) — инерционные члены. Мы будем ссылаться на теорию, использующую только первое допущение и называющуюся несвязанной.

Рассмотрим в уравнении теплопроводности член, отражающий механическую связанность. Данное уравнение показывает, что если внешнее механическое воздействие вызывает изменение деформации внутри тела, то в общем случае указанные изменения деформации сопровождаются изменением температуры, и, следовательно, появлением теплового потока. В результате всего процесса возрастает энтропия и та часть энергии, которая не может быть возвращена в механической форме. Очевидно, что для описания подобного диссипативного процесса в уравнении теплопроводности необходим член, отражающий механическую связанность; опустить его в данном случае было бы неразумно. Однако деформации от действия внешних нагрузок сопровождаются лишь незначительными изменениями температуры и поэтому вполне резонно вычислять эти деформации без учета температурного расширения. Точно так же, если деформации в теле вызываются неравномерным распределением температуры, то интуитивно кажется очевидным, что влияние указанных деформаций на температуру само по себе не должно быть слишком большим. Следовательно, можно ожидать, что пренебрежение в уравнении теплопроводности членом, отражающим механическую связанность, будет допустимо во всех задачах, кроме тех, где вопрос термоупругого рассеяния энергии представляет основной интерес.

Указанное обстоятельство можно наглядно проиллюстрировать следующим образом. Перепишем уравнение связанной теории теплопроводности (2.1) в виде

(2.5)

где введен безразмерный параметр, равный

причем скорость распространения в упругой среде волн расширения обозначена через В уравнении (2.5) член, пропорциональный, отображает влияние связанности, и им можно пренебречь по сравнению с единицей, если

(2.6)

Чтобы провести численные сравнения, нужно оценить значения параметра .

Так, для алюминия

Для стекла

Таким образом, из уравнения (2.5) следует, что в обоих случаях связанность будет малой, если <<20.

Если с течением времени поле температур не испытывает очень резких изменений или внезапных скачков, то из интуитивных соображений можно ожидать, что скорость изменения по времени температурного расширения будет величиной того же порядка, что и скорость изменения температуры. Таким образом, указанное выше пренебрежение связанностью представляется обоснованным.

Из предыдущего обсуждения видно, что возможность пренебречь членами связанности зависит не только от выполнения требования

(как это имеет место для большинства металлов), но и от условия, что скорости изменения деформации были величинами того же порядка, что и скорости изменения температуры. Последнее условие предполагает, что изменение перемещений по времени происходит непосредственно вслед за изменением температуры; иными словами, при движении тела не должно возникать заметного отставания или колебаний. Поэтому следует ожидать, что величина инерционных эффектов также будет иметь в данном вопросе определенное значение, и, следовательно, между упомянутыми выше двумя направлениями упрощений общей теории должна существовать тесная связь.

2.2 Постановка задачи

Далее будем рассматривать полый однои двухслойный цилиндр при условии плоской деформации.

Метрический тензор:

Уравнения равновесия:

,

,

Компоненты вектора перемещений:

, .

Тензор деформаций:

, ,

, .

Соотношения Коши:

, ,

.

Если, и не зависит от х₃, тогда

,

Уравнения движения в цилиндрической системе координат имеют вид:

Считаем задачу осесимметричной и для случая плоской деформации при условии отсутствия массовых сил, т. е. .

Для случая плоской деформации:

, .

, ,

, .

В условиях плоской деформации уравнения равновесия (Ламе):

В нашем случае ,

Закон Гука при температурных напряжениях имеет вид:

где , — коэффициент линейного температурного расширения. Перепишем закон Гука в напряжениях:

.

Уравнения равновесия в напряжениях

Вместе с уравнением теплопроводности в условиях плоской деформации для связной задачи получаем:

для одного слоя:

Начальные условия:

.

Граничные условия:

а) края закреплены б) края свободны для двух слоев:

Начальные условия:

.

Граничные условия:

а) края закреплены б) края свободны Чтобы обезразмерить полученные соотношения введем замену переменных:

, , .

Тогда:

.

Подставляем в наши уравнения и, заменяя коэффициенты Ламе на модуль Юнга и коэффициент Пуассона

получаем следующие безразмерные соотношения:

где

.

Тогда, для одного слоя, начальные условия примут вид:

.

Граничные условия:

а) края закреплены б) края свободны

Т.к.

Для двух слоев задача будет иметь вид:

где k=1,2 — номер слоя (каждый слой состоит из разных материалов).

Начальные условия:

.

Граничные условия:

а) края закреплены б) края свободны

3. Затвердевание вязкоупругих материалов

3.1 Осесимметричное состояние затвердевающих сред В этой главе будут рассмотрены задачи для тел вращения, поэтому удобно для решения этих задач ввести цилиндрическую систему координат

Пусть — компоненты перемещений в цилиндрической системе координат. Для осесимметричной задачи и все перемещения, деформации и напряжения не зависят от угла .

Тогда компоненты тензора малых деформаций можно выразить через следующим образом /36/

, ,

(3.1)

.

Аналогично в цилиндрической системе координат вводится тензор напряжений, который для осесимметричной задачи имеет четыре ненулевые компоненты Дифференциальные уравнения равновесия при отсутствии массовых сил имеют следующий вид /36/

(3.2)

Определяющие соотношения для линейного вязкоупругого материала запишем в виде (1.20), считая, что объемная релаксация в затвердевающем материале отсутствует

(3.3)

Здесь обозначено Для степени затвердевания и усадки стеклования задаются кинетические уравнения (1.24), (1.25)

Для того, чтобы учесть температурные деформации и зависимость степени затвердевания от температуры, необходимо решить уравнение теплопроводности (1.26), которое в цилиндрической системе координат имеет вид (в случае осесимметричного температурного поля) /37/

(3.4)

где все обозначения совпадают с обозначениями пункта 1.3.

3.2 Решение задачи Ламе Рассмотрим задачу Ламе для неоднородно-стареющего линейного вязкоупругого материала (стекло), из которого изготовлен длинный цилиндр, деформирующийся в условиях плоской деформации.

Считаем, что напряженно-деформированное состояние и неоднородное температурное поле не зависят от координаты, тогда из уравнения равновесия (3.2) невырожденным останется одно

(3.5)

Соотношения Коши будут иметь вид

(3.6)

Из перемещений отличным от нуля будет только перемещение

Определяющие соотношения (3.3) перепишем в виде

(3.7)

Считаем, что напряженно-деформированное состояние цилиндра исследуется с момента его изготовления

Ядро релаксации, характеризующее реологические свойства стекла, причем стекла неоднородно стареющего, можно записать, с применением теории линейной вязкоупругости для описания изменения свойств стеклообразующих веществ в области стеклования. Данный подход, который называют кинетической теорией стеклования, успешно используется в работах Мазурина // для расчета релаксации свойств в этом интервале. Кратко рассмотрим схему расчета, описанного Мазуриным. Этот метод основывается на следующих положениях.

1. Для стекол справедлив принцип температурно-временной эквивалентности. Вид «равновесной» релаксационной кривой, полученной в условиях малого скачка температуры, не зависит от температуры.

2. Единственной причиной нелинейности функции, описывающей процессы структурной релаксации в изотермическом процессе, является изменение вязкости в результате структурных изменений стеклообразующего расплава.

3. На процессы структурной релаксации может быть распространен принцип суперпозиции Больцмана.

Предполагается, что время релаксации некоторого свойства, связанное со скоростью изменения структуры жидкости, должно быть пропорционально сдвиговой вязкости:

где — эмпирическая константа.

Стабилизируем стеклообразующий расплав при температуре и резко изменяем температуру от до т. е. рассмотрим случай единичного температурного скачка (рис. 3).

Рис. 3. Схема изменения релаксирующего свойства со временем. — мгновенное, — структурное и — равновесное изменение релаксирующего параметра при резком изменении температуры от до .

Если разность мала, то функция изотермической релаксации свойства при хорошо описывается следующим эмпирическим уравнением:

(3.8)

где — значение в момент времени; - начальное значение при; - равновесное значение при. Обозначение используется как сокращенная запись левой части равенства.

Это уравнение справедливо лишь при, для конечных значений оно записывается в виде

(3.9)

 — постоянная, называемая вязкостью сравнения.

Введение

снимает ограничения по, причем — приведенное время, .

Общее изменение свойства при температурном скачке может быть разделено на две части: мгновенное изменение и структурное изменение. Полное или равновесное изменение релаксирующего параметра равно их сумме. Очевидно, что

где — значение до скачка температуры и. Относя указанные изменения к соответствующему интервалу температуры, можно определить мгновенный, структурный и равновесный температурные коэффициенты параметра :

Если имеем дело с произвольным температурно-временным режимом, то по аналогии с уравнением Больцмана-Вольтерра общее изменение может быть записано следующим образом:

(3.10)

С помощью уравнений (3.9) и (3.10) при рассчитываются для заданного температурного режима зависимости и. Зная последнюю зависимость, а также, для соответствующего параметра можно по уравнению (3.10) определить .

Уравнение (3.10) справедливо для всех, для которых характерна линейная зависимость от температуры. Мы не будем рассматривать обобщение этого уравнения на случай нелинейной температурной зависимости .

Данный метод расчета имеет важное значение в технологии изготовления стекла, так как при использовании сравнительно небольшого набора эмпирических постоянных позволяет рассчитывать изменения свойств стекол при сложных температурновременных режимах. Мазурин приводит различные примеры расчета. В интервале стеклования наблюдается достаточно хорошее согласие расчетных данных с экспериментальными.

Пусть внутренняя поверхность затвердевающего цилиндра жестко закреплена, а внешняя поверхность склеена с упругой оболочкой, которая имеет модуль Юнга и коэффициент Пуассона т. е.

(3.11)

Запишем уравнение теплопроводности в осесимметричном случае Начальное распределение температуры. Теперь рассмотрим определяющие соотношения (3.7), откуда находим выражения для и

(3.12)

Подставим найденные выражения в уравнения равновесия (3.5) и учтем при этом соотношения Коши из которых имеем Тогда получим следующее интегро-дифференциальное уравнение

Это выражение тождественно равно нулю, когда удовлетворяется уравнение Эйлера /21/

которое имеет следующее решение

(3.13)

Для отыскания постоянных интегрирования и воспользуемся краевыми условиями. В результате получим, учитывая что Отсюда Выпишем значение напряжения на внешней поверхности

где

Перемещения упругой оболочки, вызываемое контактным давлением

определяется по формуле /27/

Здесь — коэффициент линейного расширения материала оболочки, — толщина оболочки.

Используя теперь условие склейки на границе контакта, получаем уравнение относительно

Обозначим через

В нашем случае и — const, а следовательно и

Тогда последнее интегральное уравнение перепишется в виде Для нашего случая, поэтому относительно неизвестной постоянной интегрирования имеем интегральное уравнение Вольтерра второго рода с вырожденным ядром

(3.14),

где непрерывна при .

Будем искать решение интегрального уравнения (3.14) в виде бесконечного степенного ряда по степеням :

(3.15)

Подставляя формально этот ряд в (3.14), получим

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, найдем:

(3.16)

Соотношения (3.16) дают способ последовательного определения функций. Можно показать, что при сделанных предположениях относительно и полученный таким образом ряд (3.15) сходится равномерно по и при любом и и его сумма есть единственное решение (3.14).

Тогда, для

Таким образом, перемещение (3.13) полностью определено и, следовательно, определено напряженно-деформированное состояние неоднородно стареющего вязкоупругого цилиндра.

Выпишем напряжения и

(3.17)

Рассмотрим, как происходит перераспределение напряжений и с момента времени t = 0 до .

В начальный момент времени t = 0, материал из которого изготовлен цилиндр, имеет агрегатное состояние близкое к абсолютно жидкому, поэтому можно считать, что, Тогда из (3.17) получаем Вычислим постоянную интегрирования при

уравнение затвердевающий вязкоупругий ламе

где модуль Юнга и коэффициент Пуассона для алюминия, — коэффициент линейного расширения алюминия, — толщина стакана, =1100 — температура плавления оконного стекла. Следовательно, в начальный момент времени распределение напряжений постоянно:

С помощью прикладного пакета Maple нами было рассчитано распределение напряжений по слоям в трех точках: в начальный момент времени; через полчаса; в момент остывания (через четыре часа). В результате были получены следующие диаграммы Также было получено распределение напряжений по температуре для пяти слоёв.

Так для первого слоя:

Второй слой

Третий слой

Четвертый слой

Пятый слой

1. Луканов А. С. Исследование напряженно-деформированного состояния затвердевающих и наращиваемых сред. Куйбышевский ГУ, 1985. -195с.

2. Арутюнян Н. Х. Краевая задача теории ползучести для наращиваемого тела //ПММ, 1977. -Т.41, вып.5. -С.783−789.

3. Арутюнян Н. Х. К теории ползучести неоднородно-стареющих тел //Докл. АН СССР. -1983. -Т.273. № 5. -С.1077−1079.

4. Арутюнян Н. Х. Некоторые вопросы теории ползучести. -М.-Л.: Гостехиздат, 1952. -324с.

5. Арутюнян Н. Х. Некоторые задачи теории ползучести для неоднородно-стареющих тел //Изв. АН СССР, МТТ. -1976. № 3. -С.153−164.

6. Арутюнян Н. Х. Теория ползучести неоднородно-стареющих тел /Препринт № 170. -М.: ИПМ АН СССР. -1981. -75с.

7. Арутюнян Н. Х., Колмановский В. П. Теория ползучести неоднородных тел. -М.: Наука, 1983. -336с.

8. Арутюнян Н. Х., Дроздов А. Д., Наумов В. Э. Механика растущих вязкоупругопластических тел. -М.: Наука, 1987. -472с.

9. Арутюнян Н. Х., Метлов В. В. Некоторые задачи теории ползучести неоднородно-стареющих тел с изменяющимися границами. //Изв. АН СССР, МТТ. -1982, -№ 5. -С.91−100.

10. Арутюнян Н. Х., Метлов В. В. Нелинейные задачи теории ползучести наращиваемых тел, подверженных старению // Изв. АН СССР, МТТ. -1983, -№ 4. -С.142−152.

11. Арутюнян Н. Х., Наумов В. Э. Краевая задача теории вязкоупруго-пластичности для растущего тела, подверженного старению // ПММ, 1984. -Т.48, вып.1. -С.17−28.

12. Арутюнян Н. Х., Наумов В. Э. Механика растущих вязкоупругих тел // Препринт / Ин-т проблем механики АН СССР. -М., -1984, -№ 228. -148с.

13. Арутюнян Н. Х., Наумов В. Э. Об одном механизме формообразования растущих вязкоупругих тел // Изв. АН СССР, МТТ. -1984, -№ 1. -С.57−65

14. Арутюнян Н. Х., Шойхет Б. А. О наращивании вязкоупругого полого шара, подверженного старению //Докл. АН Арм.ССР. -1981. -Т.73. № 5. -С.284−287.

15. Бартенев Г. М., Зеленев Ю. В. Физика и механика полимеров. -М.: Высшая школа, 1983. -391с.

16. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. -М.: Наука, 1969. Т.1. -344с.

17. Быковцев Г. И., Луканов А. С. Некоторые вопросы затвердевающих и наращиваемых вязкоупругих сред // Изв. АН СССР, МТТ. -1985, -№ 5. -С.116−118.

18. Варданян Г. С., Гетрин В. И. О теории термоползучести неоднородно-стареющих тел // Изв. АН Арм. ССР, Мех. -1979, -Т.32., -№ 5. -С.38−47.

19. Екельчик В. С., Рябов В. М. Об использовании одного класса наследственных ядер в линейных уравнениях вязкоупругости //Мех. композит. материалов, 1981. -№ 3. -С.393−404.

20. Зевин А. А. Напряжения и деформации неоднородной наследственной среды //Прикладная механ. -1973. -Т.9, вып.3. -С.38−42.

21. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, Гл.ред.ф.-м.литер., 1976. -576с.

22. Колтунов М. А. К вопросу выбора ядер при решении задач с учетом ползучести и релаксации //Мех. полимеров, 1966. -№ 4. -С.483−497.

23. Кристенсен Р.

Введение

в теорию вязкоупругости. -М.: Мир, 1974. -338с.

24. Кристенсен Р.

Введение

в механику композитов. -М.: Мир, 1982. -334с.

25. Лурье А. И. Теория упругости. -М.: Наука, 1970. -939с.

26. Метлов В. В., Никитин А. В. О наращивании вязкоупругого полого цилиндра, подверженного старению // Изв. АН Арм. ССР, Мех. -1984, -Т.37., -№ 5. -С.52−60.

27. Москвитин В. В. Сопротивление вязкоупругих материалов. -М: Наука, 1972. -327с.

28. Москвитин В. В., Колокольчиков В. В. К вопросу о квазилинейной теории вязкоупругости // Механика полимеров. -1968. -№ 4. -С.603−611.

29. Наместников В. С., Работнов Ю. Н. О наследственных теориях ползучести // ПМТФ. -1961. -№ 4.

30. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. -М.: Наука, 1966. -752с.

31. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. -М.: Наука, 1977. -384с.

32. Рейнер М. Реология. -М.: Наука, 1965. -223с.

33. Ржаницин А. Р. Теория ползучести. -М.: Стройиздат, 1968. -416с.

34. Савин Г. Н., Уразгильдяев К. У. Влияние старения материала на напряженно-деформированное состояние около отверстий // Изв. АН Арм. ССР, Мех.тв.тела. -1974. -№ 5. -С.130−135.

35. Савин Г. Н., Уразгильдяев К. У. Влияние ползучести и старения материала на напряженное состояние около отверстия в пластине // Прикл. Мех. -1970. -Т.6. -вып.1. -С.51−56.

36. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. -М.: Наука, 1975. -575с.

37. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977. -735с.

38. Харлаб В, Д. Линейная теория ползучести наращиваемого тела // Мех. стержнев. сист. И сплошн. сред. -1966. -№ 49. -С. 93−119.

39. Китайгородский И. И. Технология стекла. -М.: ГСИ. -1961. -612с.

40. Уэйнер Дж., Боли. Б. Теория температурных напряжений. -И.: Мир. -1964. -510с.