Однопетлевые КХД и электрослабые поправки к четырехфермионным процессам в системе SANC

Лучшей на сегодня теорией, описывающей различные явления, происходящие при столкновении частиц высоких энергий, является так называемая стандартная модель (СМ) взаимодействия элементарных частиц [1−3]. В течение последних двадцати пяти лет проводились многочисленные эксперименты по проверке СМ на ускорителях высоких энергий и в пределах точности этих экспериментов не было обнаружено ни одного значимого расхождения от предсказаний СМ. На масштабе энергий порядка массы Z-бозона многие предсказания СМ были проверены с точностью «0.1% (бла-годяря экспериментам на ускорителе LEP). С появлением новых ускорителей (ЬЯС, ILC, CLICT) появляется возможность проверки СМ на масштабах энергии ~ ТэВ с точностью ~ 1%, что предполагает выполнение теоретических расчетов с еще большей точностью (< 0.3%), чтобы не вносить дополнительную систематическую погрешность при сравнении результатов экспериментов с предсказаниями теории.

Одними из процессов, представляющих большой интерес для физической программы будущих экспериментов ATLAS и CMS на ускорителе протонов LHC и для проводимых в настоящее время экспериментов DO и CDF на кол-лайдере Tevatron, где сталкиваются пучки протонов и антипротонов, являются процессы типа Дрелла-Яна по каналам заряженного и нейтрального токов, называемые также процессами одиночного рождения W и Z бозонов: рр -> W± + X ^(7, д) + X, рр —> Z + X —" «+(7, д) + X, рр W± + X ->¦ ^(ъд) + X, рр -«> 7, Z + X «+(7,#) + х, где X — это все адроны, образовавшиеся в данной реакции. Эти процессы легко регистрируются в детекторах и имеют большое сечение (порядка 30 иб для рождения W и 3.5 нб для рождения Z при энергии пучков 14 ТэВ). Прецизионное изучение этих процессов используется для определения партонных функций распределения, уточнения значений параметров sin2, Гуу, Гz-! мониторинга светимости ускорителя и калибровки детекторов. Для достижения требуемой точности необходимо учесть электрослабые (ЭС) и КХД поправки и их взаимное влияние.

Согласно СМ доминирующим каналом распада топ-кварка является процесс t —" bW+ с относительной вероятностью 99.9%. В свою очередь, относительная вероятность распада Ж-бозона на заряженный лептон и нейтрино Br (W+ —> ?+iyi) ~ 11%. Таким образом, полулептоиные распады t —> М+щ (?+ = e+,/i+, r+) составляют приблизительно треть всех распадов топ-кварка. И примерно две трети распадов приходится на кварковые каналы t —> bud, t —> bcs. Прецизионное вычисление поправок к значениям ширин данных распадов позволит уточнить значение параметра Vtb матрицы Каббибо-Кобаяши-Маскава. Важность исследования этих процессов требует однопетлевой точности вычислений в теоретических предсказаниях. При высоких энергиях кроме КХД становится важным учитывать также ЭС однопетлевые поправки.

Средством для наиболее точного и подробного сравнения предсказаний теории с результатами экспериментов в настоящее время являются Монте-Карло генераторы событий с единичным весом, представляющие собой программы, моделирующие реальные процессы, происходящие при столкновении частиц высоких энергий. Такие известные программы как PYTHIA и HERWIG моделируют процессы столкновения адронов и лептонов наиболее подробно, учитывая образование партонных ливней, адронизацию и распад образующихся адронов. В основе их лежит так называемый жесткий процесс столкновения партонов типа 2 —" 1, 2 —> 2 или 2 —> 3 для которых известен квадрат модуля матричного элемента. Но для многих этих процессов матричный элемент посчитан лишь в борновском приближении. Для учета эффектов высших порядков теории возмущений можно использовать Монте-Карло генераторы, которые генерируют события лишь для жестких процессов, но с учетом необходимых поправок. Эти события могут быть записаны в файлы, которые передаются для обработки в Монте-Карло генераторы общего назначения.

В сфере расчетов радиационных поправок для жестких процессов есть потребность в развитии компьютерных иструментов для их автоматизации. На данный момент в мире есть несколько компьютерных систем, позволяющих проводить такие расчеты на однопетлевом уровне точности в автоматическом или полуавтоматическом режиме. Это такие системы как FeynArts [4], GraceLoop [5]. Обсуждаемая в этой работе система SANC — это компьютерная система для полуавтоматических вычислений реалистичных и псевдо-наблюдаемых для различных процессов взаимодействия элементарных частиц на однопетлевом уровне точности для экспериментов на ускорителях.

Схема вычислений в среде SANC.

В этом разделе введения дается краткое описание принятой в системе SANC схемы расчета различных наблюдаемых для доступных процессов. Все вычисления реализованы в духе [6]. Последняя версия системы SANC имеет дело с тремя моделями взаимодействия элементарных частиц: квантовой электродинамикой (КЭД), электрослабой теорией и квантовой хро-модинамикой (КХД). В качестве примера на Рис. 1 показано дерево для КХД процессов.

SANC.

Я QED Я QV ?1 QCD еШ Precomputation.

-'ЗЯ Processes >

3 legs Я t Wb i b2q I I.

H -> q q Я Z -> q q оШ W -> q q' - 4 legs оЯ Neutral Current Charged Current.

7-Я t -> b f1 f 1'.

EFw t -> b f1 f1' (FF) Fr>i t -> b f1 f1 ¦ (BR) F™ t -> ь fi fi • (MC).

— в q q' -> II'.

— F?3q q1 -> I I1 (FF) -Fbiq q' -> II' (BR) 1.

5 SANC o- 9 QED.

Sav.

QCD г.

Precomputation 9-Я Self I f-ш Gluon.

Gluon Self Quark ?-Д Ften Blacks fm CalcQuarkHenConsIfbi Quark Self Я Vertex 9-t2 bqq.

Fa bqq Vertex <3 Box.

I.

4q.

Charged current ^—Feiqqqq Box Я Processes.

Рис. 1: КХД процессы и блоки предвычислений, доступные в среде SANC version 1.10.

Каждое дерево состоит из нескольких уровней вложенных папок. Папки низшего уровня могут содержать следующие файлы: .(FF) (форм-факторы),. (НА) (спиральные амплитуды),. (BR) (тормозное излучение) и .(МС) (тормозное излучение в полностью дифференциальной форме). В названиях папок мы используем следующие обозначения: Ъ — для любого бозона, / — для любого фермиона (кварка или лептона), fi — для фермионов первого поколения, чьи массы удерживаются только в аргументах логарифмических функций, q — для кварков, А — для фотона и Z, W, Н — для одноименных бозонов. В некоторых случаях для большей определенности применяются обозначения: I — для заряженных лептоиов, v — для нейтрино, Ь — для 6-кварка и? — для £-кварка. Для файлов используются те же обозначения, причем b всегда означает Ь-кварк.

Для ряда процессов системы SANC цепочка вычислений заканчивается Монте-Карло интеграторами и генераторами. Но лишь некоторые из них внедрены в систему. Другие доступны как отдельные пакеты, использующие модули на языке Fortran, сгенерированные системой. Эти модули содержат аналитические выражения для различных вкладов в дифференциальное сечение рассеяния пары частиц или дифференциальную ширину распада.

Предвычисления, амплитуды, форм-факторы.

Предвычисления — это одна из основных концепций идеологии SANC. Так как многие однопетлевые расчеты требуют значительного времени для выполнения, то нецелесообразно проводить их каждый раз при запуске SANC и удобно предварительно вычислить возможно больше однопетлевых диаграмм и производных от них величин (константы перенормировки, всевозможные строительные блоки и т. д.). Пример файлов предвычислений в КХД можно увидеть на Рис. 1.

Стоит отметить, что на стадии предварительных вычислений нет необходимости различать канал процесса. При расчете однопетлевых диаграмм все 4-импульсы считаются входящими. В окончательных выражениях (например, для скалярных форм-факторов) любой требуемый канал получается соответствующей перестановкой аргументов (например, манделынта-мовских переменных s, t и и). Более подробно ветка предвычислений описывается в работе [7].

Обычно процесс имеет три файла с программными кодами на языке FORM, которые вычисляют:

• Ковариантную амплитуду (СА), соответствующую результату непосредственного стандартного вычисления всех диаграмм Фейнмана, которые вносят вклад в рассматриваемый процесс на древесном и одиопетлевом уровнях и скалярные форм-факторы (FF) с индексом, обозначающим соответствующую структуру. Число форм-факторов совпадает с возникающим числом Лоренц-структур (можно сравнить с вершиной взаимодействия нуклон-нуклон-7, которая параметризуется двумя скалярными форм-факторами Л ос ч^Тг +.

• Спиральные амплитуды (НА), которые зависят от форм-факторов: где {А-} обозначает набор собственных квантовых значений спиральности (обычно проекции спинов на ось квантования). Напомним, что в стандартном подходе для наблюдаемой О имеем О ос Л2, в то время как в терминах НА: О ос 1^{Лг}12> чт0 радикально упрощает вычисления в связи с тем, что Н{.} — скалярные объекты, которые представляются комплексными числами;

• Сопутствующее тормозное излучение (BR). Этот модуль предназначен для вычисления вклада реального тормозного излучения в соответствующие процессы. Обычно имеются как расчеты инклюзивных величин, так и полностью дифференциальных для последующего использования в Монте-Карло генераторах и интеграторах (МС-модули).

От аналитических результатов к числам.

Цепочка вычислений SANC начинается с выполнения модулей FF в интерактивном режиме. Далее следует срабатывание пакета s2n, преобразующего аналитические выражения в модули программ на языке Fortran, и последующее выполнение модулей НА с еще одним срабатыванием s2n. В результате система генерирует код для вклада виртуальных поправок к выбранному процессу, которые схематически можно представить в следующем виде:

Заметим, что двухпетлевые поправки при их наличии легко могут быть включены в указанную схему.

Также необходимо рассматривать поправки за счет жесткого и мягкого тормозного излучений. Они вычисляются с помощью модулей BR. Кинематика мягкого тормозного излучения такая же, как и у вклада борновского приближения, в то время как фазовый объем жесткого тормозного излучения имеет на три переменные больше в связи с одной дополнительной частицей в конечном состоянии. Система обычно создает для данного вклада программные модули на языке Fortran, которые могут в дальнейшем использоваться в Монте-Карло вычислениях. Для большинства процессов в системе реализована полная цепочка однопетлевых расчетов, включая расчет жесткого тормозного излучения для инклюзивных наблюдаемых. 2.

1).

Для численных расчетов мы используем модули на языке Fortran, сгенерированные пакетом s2n — частью системы, написанной на языке PERL. SANC имеет собственную библиотеку для численного вычисления функций Пассарино-Вельтмана [8] и использует пакет LoopTools [9] в качестве альтернативы.

Цели диссертации.

Проведенное исследование преследовало следующие цели:

• разработать вычислительную среду для КХД вычислений в рамках системы SANC,.

• выполнить расчет однопетлевых КХД поправок к процессам типа Дрелла-Яна,.

• выполнить расчет однопетлевых КХД и ЭС поправок для процессов одиночного рождения £-кварка и его распада на кварки с учетом конечной ширины £-кварка,.

• создать фортранные модули, реализующие результаты вычислений, для использования в Монте-Карло генераторах.

Содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.

Основные результаты, выдвигаемые для защиты:

1. Разработана и реализована вычислительная процедурная среда в системе SANC для КХД сектора.

2. Получены аналитические выражения в среде SANC для КХД поправок для процессов Дрелла-Яна по каналам заряженного и нейтрального токов рр W± + X Pveig) + X, рр W± + X i^v^g) + X, рр 7, Z + X -> £~£+(д) + X, рр 7, Z + X -> «+(#) + X на кварк-партонном уровне с учетом массы кварков и параллельно в MS схеме.

3. Впервые созданы аналитические и фортранные модули для вычисления КХД и ЭС однопетлевых поправок для процессов Дрелла-Яна на адронном уровне.

4. Реализован общий метод вычисления вспомогательных функций J типа Пассарино-Вельтмана для процессов: t —> bud, ud —> tb, bu —> td.

5. В мультиканальном подходе вычислены однопетлевые ЭС поправки для процессов: t —" bud, ud —> tb, bu —" td. Созданы автономные аналитические модули для их вычисления.

Заключение

.