Аналоговые системы управления

Исходные данные:

R1=1 кОм, R2=2 кОм, R3 =3 кОм, С1=2 мкФ, C2=2 мкФ.

Цель работы.

Исследование передаточных функций и частотных характеристик различных звеньев аналоговых систем управления. Вывод дифференциальных уравнений радиотехнической системы автоматической подстройки частоты.

Пункты исследования заданного контура:

• 1. Составление передаточной функции контура.
• 2. Построение ЛАХ, АФЧХ, ЛАЧХ и ФЧХ, переходной характеристики.
• 3. Анализ результатов.

Построение характеристик контура проводилось с помощью пакета прикладных программ «CLASSIC-3».

Основные сведения

В технической кибернетике, точнее в теории автоматического регулирования, широкое распространение получил метод передаточных функций. Он позволяет на основе передаточных функций элементарных звеньев изучать структуры сложных систем управления, производить их синтез по определенным критериям качества, а также решать и некоторые другие задачи. Передаточная функция это отношение изображений в частотной области выходной переменной ко входной переменной. Несмотря на высокую результативность применения в технике метод передаточных функций в силу ряда трудностей не нашел достойного практического применения в сложных информационных системах, системах массового обслуживания, социальных, биологических системах и даже в современных широко используемых вычислительных системах, особенно иерархической, сетевой структуры. Тем не менее, теоретиками кибернетики неоднократно высказывалась мысль о построении и использовании аналогов передаточных функций в указанных выше сложных системах, теории алгоритмов на основе положений теории информации. На наш взгляд эти соображения заслуживают внимания и нуждаются в изучении.

Наиболее распространенным методом описания и анализа АСУ является операционный метод (метод операционного исчисления), в основе которого лежит прямое интегральное преобразование Лапласа для непрерывных функций.

F (p) = f (t) = [0:?] f (t) ept dt.

Это преобразование устанавливает соответствие между функцией действительной переменной t и функцией комплексной переменной p = + j. Функцию f (t), входящую в интеграл Лапласа, называют оригиналом, а результат интегрирования — функцию F (p) — изображением функции f (t) по Лапласу. Преобразование выполнимо лишь для функций, которые равны нулю при t 0. Формально это условие в ТАУ обеспечивается умножением функции f (t) на единичную ступенчатую функцию 1(t) или выбором начала отсчета времени с момента, до которого f (t) = 0. Наиболее важными свойствами преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях являются:

f (t) = pF (p);

f (t)dt = F (p) / p.

Операционный метод в ТАУ получил широкое распространение, так как с его помощью определяют так называемую передаточную функцию, которая является самой компактной формой описания динамических свойств элементов и систем. Применяя прямое преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению с использованием свойства получим алгебраическое уравнение.

D (p)Y (p) = K (p)X (p),.

Где.

D (p) = a0 p n + a1 p n-1+…+ an — собственный оператор; K (p) = b0 p m + b1 p m-1+…+ bm — входной оператор.

Передаточная функция — отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях:

Значение переменной p, при которой передаточная функция W (p) обращается в бесконечность, называется полюсом передаточной функции. Очевидно, что полюсами являются корни собственного оператора D (p). Значение переменной p, при которой передаточная функция W (p) обращается в нуль, называется нулем передаточной функции. Очевидно, что нулями являются корни входного оператора K (p). Если коэффициент a0 0, то передаточная функция не имеет нулевого полюса (p = 0), характеризуемый ей элемент называют астатическим и передаточная функция этого элемента при p = 0 (t =) равна передаточному коэффициенту.

В ТАУ наиболее часто используют следующие частотные характеристики: амплитудная частотная характеристика (АЧХ); фазовая частотная характеристика (ФЧХ); амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) определяет фильтрующие свойства системы (показывает, как система пропускает различные частоты), а фазовая частотная характеристика (ФЧХ) определяет запаздывание выходного сигнала по отношению ко входному (фазовые сдвиги, вносимые на различных частотах).

Удобной формой представления частотных характеристик являются логарифмические частотные характеристики, состоящие из логарифмической амплитудной характеристики (ЛАХ) и логарифмической фазовой характеристики (ЛФХ).

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф), соответствующих частотной передаточной функции .

Частотная передаточная функция представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной, а аргумент равен сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной. Модуль частотной передаточной функции представляет собой чётную функцию частоты, а фаза — нечётную функцию частоты, поэтому по результатам вычисления модуля и фазы для положительных частот можно сразу построить АЧХ, а также ФЧХ для всего диапазона частот -?<�щ<+?.

Переходной характеристикой системы называется переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на вход звена скачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице. Такое входное воздействие называется единичной ступенчатой функцией (функцией Хевисайда).

Формирование передаточной функции.

Рис. 1. Пример исследуемой схемы

Комплексное сопротивление g1=R3

Комплексное сопротивление g₂ представляет собой последовательное соединение R₂ и С₁, поэтому складываем проводимости:

g1 =.

g2= + =; g1+g2 = R2C2p+R3C2p+1.

g3=R3.

g =R3 + + R1C2p+R2C2p+R1C1p+1R2R1C1.

Полное сопротивление цепи.

g = g1+ g2 = R1 + =.

Ток в цепи по закону Ома.

i = =.

Uвых = i*g2 = =.

Поделив почленно на Uвх, получим выражение для передаточной функции.

W (p) = = (1.1).

Осталось подставить численные значения параметров и вычислить коэффициенты передаточной функции.

W (p) =.

Полученный вид передаточной функции наиболее удобен для ее анализа с помощью пакета прикладных программ «CLASSIC».

Выстраивание ЛАХ Прежде всего, необходимо перейти от передаточной функции в форме.

к передаточной функции в форме.

.

Эта форма передаточной функции системы через передаточные функции ее звеньев является более предпочтительной для исследования любой автоматической системы, так как позволяет сразу определить ее структуру.

Для такого перехода надо, прежде всего, с помощью программы «CLASSIC» найти нули и полюса заданной схемы. Они приведены на рис. 2.

Рис. 2. Нули и полюса передаточной функции

Для заданной передаточной функции значения полюса и нуля функции равны: л1=-181.818.

Соответствующие постоянные времени T₁=12*10^-3с; T₂=13*10^-3с Индексы постоянных времени расставлены в порядке уменьшения их величин, так, чтобы обратные им величины (частоты сопряжения _C2<_C3) располагались в порядке возрастания. Итак, в нашем примере передаточная функция системы состоит из чисто инерционного (апериодического) звена ().

(2.2).

АЧХ для этого звена. ЛАХ для него, где амплитудное значение L (щ) вычисляется в децибелах (дБ). Прологарифмируем заданное выражение.

Напомним, какова связь между децибелами и обычными единицами. Если коэффициент передачи звена (коэффициент усиления) k=10, то в дБ это будет 20lg10=20дБ, при k=100 20lg100=40дБ; k=1 20lg1=0дБ; k=0,1 20lg0,1= ?20дБ; k=0,01 20lg0,01= ?40дБ. Итак, мы выяснили, что по оси ординат шкала равномерная. По оси абсцисс (частот) принимается логарифмическая шкала, причем интервалы частоты берутся подекадно, причем на одну декаду отводится один и тот же отрезок оси, а сама декада соответствует десятикратному изменению частот.

Вводится понятие частоты сопряжения, которая равна частоте среза или модулю нулей и полюсов передаточной функции.

И последнее, номиналы декад выбираются так, чтобы они охватывали весь диапазон частот сопряжения.

С учетом сказанного, ЛАХ запишем в виде:

(16).

При частоте меньшей частоты сопряжения второе слагаемое под корнем представляет правильную дробь, а в квадрате ее величина гораздо меньше 1 и этой величиной пренебрегают. То есть, до частоты сопряжения ЛАХ представляет из себя прямую, параллельную оси частот: L (щ)=20lgk.

Рис. 3. ЛАХ

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) системы приведена на рис. 4.

Рис. 4. АФЧХ

Также были построены фазо-частотная (ФЧХ) и логарифмическая амплитудно-частотная характеристики (ЛАЧХ) (рис. 5).

Рис. 5. ЛАЧХ и ФЧХ

На рис. 5 приведена переходная характеристика системы, построенная с помощью программы «CLASSIC».

Рис. 6. Переходная характеристика

Исходная схема это элементарный полосовой фильтр, который состоит из RC-цепочки, образующей апериодическое звено.

Это подтверждается видом полученной передаточной функции и амплитудно-фазовой характеристики, а также расчетом коэффициента передачи для постоянного тока (щ=0) и для переменного тока бесконечной частоты (щ=?).

Полюса передаточной функции отрицательные и действительные, так как в схеме отсутствуют элементы типа индуктивности, сообщающие системе колебательность.

Наличие апериодического звена обеспечивается введением в схему резистора R3.

частота радиотехнический аналоговый.

• 1. Тихомиров И. В., Сбродов В. В. Техническая кибернетика: лабораторный практикум: Самара:2009. — 36 с.: ил.
• 2. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. С-Пб.: 2004. 750 с.
• 3. Радиоавтоматика / Под ред. Бесекерского В. А., М.: «Высшая школа», 1985. 270 с.
• 4. Ваганов В. Б. Автоматика радиоэлектронных систем. Киев: «Наукова думка», 1988. 320 с.
• 5. Красовский А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и технической кибернетики. М.: «Высшая школа», 1989. 640 с.