Представление структуры и формы геометрических объектов

Математическая модель геометрического объекта — это формализованное описание его структуры и формы. Математическим аппаратом для описаний являются теоретико-множественные и алгебрологические методы описания структур данных, а также методы аналитической и дифференциальной геометрии. Рассмотрим некоторые из применяемых на практике способов представления таких моделей.

Теоретико-множественное определение структуры геометрических фигур. В теоретико-множественном представлении трехмерное пространство определяется как бесконечное множество точек, а точки, линии, поверхности и тела — как их подмножества.

Рис. 9.

Трехмерный геометрический объект представляется замкнутым ограниченным точечным множеством, в котором различаются множество граничных точек — поверхность и множество внутренних точек — тело [10]. Поверхность представляется состоящей из граней G_i являющихся отсеками поверхностей Р_i — носителей граней. Линия пересечения граней называется ребром R, а точка пересечения ребер или граней — вершиной V. Грань G_i может быть плоской или криволинейной, связанной или несвязанной, ребра R могут быть отрезками прямых и кривых линий — носителей ребер, являющихся линиями пересечения поверхностей—носителей граней. Ребра, организованные в определенные последовательности, образуют граничные контуры K_i. На рис. 9, а иллюстрируются отношения вершины V с ребрами R и гранями G, ребра — с гранями и вершинами, грани — с ребрами и вершинами.

На рис. 9, б приведен граф, отображающий иерархию элементов поверхности геометрического объекта. Внешними вершинами графа являются базовые объекты, промежуточными вершинами — расчленяемые объекты.

Алгебрологическое определение структуры геометрических фигур. Алгебрологические модели (АЛМ) применяются для описания объектов сложной структуры, ограниченных отсеками поверхностей, для которых имеется аналитическое представление. АЛМ строятся с помощью теории множеств, булевой алгебры или R-функций [6]. АЛМ объекта называется [10; 17] совокупность уравнений ориентированных поверхностей, теоретико-множественная формула F и параметры системы координат объекта S:

М = {{S, F}, М'_Р}, i = 1, 2, … п. (4.1).

Любая булева функция представлена с помощью конъюнкции дизъюнкции и отрицания. Переменные булевой функции y = F (x₁ … х_п) принимают два значения 0 и 1, соответствующие понятиям ложно и истинно.

Для ориентации ограничивающих геометрические объекты линий и поверхностей в качестве носителей граней G_i принимаются двусторонние поверхности P_i, заданные уравнением.

P_t=P_t(x, y, z). (4.2).

Такие поверхности разделяют пространство на положительные D_i и отрицательные D_i области, определяемые неравенствами.

Р_i>0, Р_i<0. (4.3).

Точки трехмерного объекта принадлежат областям с неотрицательными значениями выражений (4.3).

Положительная ориентация линий L_i, образующих границы отсека поверхности P_i, определяется таким образом, чтобы при следовании по поверхности вдоль линии в положительном направлении точки поверхности, инцидентные отсеку, находились слева, неинцидентные — справа.

Из областей D_i и D_i с помощью теоретико-множественных операций можно образовать геометрические объекты.

Для некоторого количества т областей D_t составляется булева функция F (D_l …, D_m), истинности которой соответствует принадлежность точки V (х, у, г) области Q.

Представление формы геометрических фигур. Для представления формы геометрического объекта, построенного путем структурного объединения базовых элементов, достаточно описать форму каждого из элементов.

Математические модели, отражающие формы базовых объектов, подразделяются на аналитические, кусочно-аналитические, каркасные [6; 10].

Аналитические модели (AM) описывают объекты с помощью уравнений; применяются они для объектов простой формы, ограниченных плоскостями и поверхностями второго порядка.

Кусочно-аналитической моделью (КАМ) геометрического объекта называется совокупность параметров 5, характеризующих его систему координат, сведения о связях элементов поверхности объекта между собой и моделей всех граней G_t. В основе КАМ лежит теория R-функций [18].

В КАМ трехмерного объекта достаточно описать только его поверхность. Через свою ориентацию она однозначно определяет, по какую сторону от нее находится тело объекта. КАМ трехмерного объекта слагается из моделей его двумерных объектов — граней, одномерных — ребер, нульмерных — вершин. Описание грани G_i состоит из описания ориентированного носителя Р_i этой грани и границы. Моделью носителя грани P_i э G_i, ребра L_iK = P_t (] P_K вершины V_{i, j, k} = P_t П P/ П Р_к называется совокупность параметров, позволяющих вычислить уравнение носителя или координаты вершины в системе координат объекта.

Такими параметрами могут быть коэффициенты уравнения поверхности, прямой или кривой линии, тройка координат точки.

Модель ребра может быть представлена в виде совокупности {S_i} — параметров-указателей начальной и конечной точек ребра; Ми — модели носителя ребра; моделей начальной mv и конечной Му точек; ОР — кода ориентации ребра.

М_R = {{S}, М_RJ, М_V, М_V, ОР}. (4.4).

Моделью грани является множество характеристик М_G={{S}, M_P, M_R } i=1,2 (4.5).

где {S}^G — параметры-указатели последовательности ребер Rs, образующих контур грани; М¹_Р — модель носителя грани gc, M'_R — модели ребер R'_s (/ = 1, 2, …; S == 1, 2, …).

Каркасные модели (КМ) применяются для представления сложных поверхностей, не поддающихся простому аналитическому описанию, или в тех случаях, когда такая форма представления удобна для реализации алгоритма решения конкретной задачи. Каркасная модель предполагает представление поверхности множеством точек или линий. Каркас может быть дискретным или непрерывным.

Точечным каркасом поверхности называется конечное множество точек, принадлежащих поверхности, а обобщенным дискретным каркасом называется конечное множество точек и линий, принадлежащих поверхности. Непрерывный линейный каркас поверхности — это непрерывное семейство линий, описываемых функциями v = v (и); закон изменения линий каркаса может быть записан г = г (и, v («)).

Сетчатым каркасом называется два (или более) семейства линий, образующих два (или более) линейных каркаса. Каждая образующая одного семейства пересекает каждую образующую второго (других семейств) только один раз.

Поверхность задана, если задан ее непрерывный каркас. В этом случае всегда можно выделить все точки пространства, принадлежащие рассматриваемой поверхности. Поверхность может нести на себе множество различных каркасов, задание одного непрерывного каркаса поверхности обеспечивает задание любого другого ее каркаса.

При задании дискретного каркаса нельзя говорить об однозначном задании конкретной поверхности. В этом случае при решении задач дискретный каркас заменяется непрерывным каркасом, для чего сначала решается задача интерполяции дискретного каркаса [16].