Плотность энергии электрического поля

Теперь предположим, что имеется непрерывное распределение зарядов, задаваемое объемной плотностью с (r>). Тогда в элементарном объеме dV содержится заряд.

dq = с (r>)dV,.

а формула (39?) приобретает такой вид.

W = 1 2? с (r>)?(r>)dV. (16.1).

Некоторое замечание надо сделать для обоснования перехода (39?)>(42). При переходе к объемному распределению под интегралом, вообще говоря, следовало писать с (r>)??(r>),.

понимая под ??(r>) потенциал всех зарядов, за исключением элементарного заряда сdV. Мысленно представим заряд сdV в виде равномерно заряженного шарика малого радиуса д с центром в точке r> и с плотностью заряда с (r>). Легко вычислить, что потенциал этого заряда в центре шарика = 3 2 q д = 3 2 1 д ?4 3рд3с = 2рд2? с (r>), и следовательно,.

??(r>) = ?(r>)? 2рс (r>)д2.

Отсюда видно, что при д > 0 ??> ?(r>) и замена ??(r>) на ?(r>), таким образом, действительно допустима.

Теперь осуществим некоторое тождественное преобразование выражения (42), заменив в последнем с, согласно уравнению Пуассона (13), на ?1 4рД? и используя формулу векторного анализа.

div (?grad?) = ?Д? + grad?)2;

в результате получим.

W =? 1 8р? div (?grad?)?grad?)2]dV = 1 8р? S? EndS+ 1 8р? V E2dV,.

где S — поверхность, ограничивающая объем V. Если заряды занимают ограниченный объем в пространстве, а в качестве поверхности S принять поверхность сколь угодно большого радиуса R, то при R >? интеграл по поверхности.

? SR > 0,.

так как на больших расстояниях? и En совпадают по крайней мере не медленнее, чем 1 R и 1 R2 (если, повторим, заряды занимают конечный объем пространства), а поверхность растет как R2.

Итак, в результате тождественного преобразования выражения (42) получим формулу.

W =? E2 8рdV (16.2).

в виде интеграла по всему пространству, занятому полем, которая по сравнению с исходной формулой (39) имеет не только новый вид, но, по существу, и новый смысл, определяя плотность энергии электрического поля в пространстве.

W = E2 8р. (16.3).

В то время как (39) описывает только энергию взаимодействия разных зарядов (i?j), формула (42) и следующая из нее формула (43) включают также и собственную энергию каждого из этих зарядов. В терминах поля можно сказать, что формулы (42), (43) описывают полную энергию электрического поля, тогда как (39) — только часть этой энергии.

Представление об энергии электрического поля, распределенном в пространстве с объемной плотностью (44) здесь получено на основе строгих рассуждений. А теперь получим выражение (44) из рассмотрения конкретного примера. Понятно, что никакие примеры доказательства справедливости (44) для общего случая дать не могут. Зато конкретные примеры могут дать наглядное представление о том, как соотношение (44) «работает».

Начнем с обсуждения вспомогательного вопроса о силах, действующих на поверхностные заряды со стороны электрического поля. Более конкретно — силы, действующие на заряды поверхности проводника.

Мы знаем, что на точечный заряд q со стороны электрического поля E> действует сила.

F> = qE>,.

где E> - напряженность поля, возбуждаемого всеми зарядами системы, кроме самого заряда q. Когда же мы обращаемся к силам, действующим на поверхностные заряды, возникает трудность, связанная с тем, что поле E> по разные стороны поверхности имеет разные значения, а на самой поверхности неопределено. Как мы уже обсуждали, внутри проводника поле тождественно равно нулю, а с внешней стороны поверхности имеет только нормальную компоненту, связанную с локальной поверхностной плотностью у (см. рис. 34). Понятно, что представление о разрыве поля обусловлено неявным отказом от рассмотрения структуры тонкого слоя, где расположены заряды, и предположим, что этот слой представляет собой бесструктурную математическую поверхность. Такая идеализация весьма продуктивна, позволяя нам определить поля вне и внутри проводника, пользуясь простыми средствами. Определение структуры поверхностного слоя для металлических проводников проводится с учетом функции распределения Ферми-Дирака для электронов проводимости и пока для нас недоступно. Но тот факт, что поверхность проводника, где сосредоточены заряды, на самом деле обладает некоторой конечной толщиной д, хотя и весьма малой, где заряды распределены по объему, позволяет легко получить выражение, связывающее силы, действующие на поверхность проводника, с напряженностью поля вблизи этой поверхности.