Регрессионный анализ в Mathcad

Пакет Mathcad создан разработчиками как инструмент для работы расчетчиков-инженеров. Он не предназначен для профессиональных математиков. Для них есть другие системы, ориентированные на области символьной математики и математической статистики. Пакет Mathcad в том виде, в котором он создан, не предназначен и для программирования сложных задач. Для этого есть система Matlab и различные языки программирования.

Пакет Mathcad создавался как мощный микрокалькулятор, позволяющий справляться с рутинными задачами инженерной практики, ежедневно встречающимися в работе. Сюда можно отнести решение алгебраических и дифференциальных уравнений с постоянными и переменными параметрами, анализ функций, поиск их экстремумов, численное и аналитическое дифференцирование и интегрирование, вывод таблиц и графиков при анализе найденных решений.

Главным достоинством пакета Mathcad и его колоссальным преимуществом перед подобными системами являются:

• * легкость и наглядность программирования задач;
• * запись сложных математических выражений в том виде, в котором они обычно записываются инженерами на листе бумаги (то есть отсутствие специального языка программирования);
• * простота в использовании;
• * возможность создания встроенными средствами высококачественных технических отчетов с таблицами, графиками, текстом.

Пакет Mathcad завоевал популярность во всем мире. Им пользуются свыше 5 млн. человек. Ежегодно выпускаются новые версии. Однако складывается впечатление, что в последнее время усовершенствования программы носят больше косметический характер. Улучшается интерфейс, расширяются возможности отдельных функций, совершенствуются средства для работы в Интернете.

Настоящим украшением MathCAD, доступным уже в первых версиях, была поддержка дискретных переменных, позволяющих одновременно вычислять функции для целого ряда значений аргумента, что обеспечивало возможность построения таблиц и графиков без применения операторов программирования. Почти до совершенства доведены средства построения графиков поверхностей, позволяющие создавать из графиков произведения искусства. Еще в версии 2001і доработана до логического завершения великолепная функция решения дифференциальных уравнений Odesolve.

На этом фоне в полном забвении находится раздел программирования MathCAD. По-видимому, этот раздел изначально задумывался как инструмент создания несложных программных модулей, необходимых для многократного вычисления небольших расчетных блоков из нескольких операторов.

Однако даже при таком состоянии программирования в Mathcad можно программировать и решать задачи повышенной сложности.

К недостаткам этого замечательного пакета можно отнести недостаточную скорость расчетов, да и загрузки в оперативную память.

Следует иметь в виду, что MathCAD можно эффективно использовать в любых инженерных, экономических, математических и научных расчетах, так и при решении задач повседневного характера.

Навыки работы в Mathcad приходят «через пальцы». Невозможно выучить список функций, все способы обращения к ним. Нельзя запомнить все приемы работы, да это и не нужно. Нужно иметь навыки работы с панелями инструментов, навыки построения выражений и графиков, понять и запомнить основные правила работы в Mathcad, основные возможности этого пакета. А главное, надо иметь под рукой большой набор типовых решенных примеров, где в любой момент можно посмотреть «как это делается» и вставить в свою программу готовые фрагменты из примеров.

Необходимо обратить внимание, что при изучении пакета MathCAD особая роль выделяется самостоятельной работе и чтению рекомендуемой литературы.

В конце февраля 2012 года вышла новая версия PTC Mathcad Prime 2.0, в интернете появились статьи, посвященные данному событию и описанию новых возможностей системы, «целому ряду интересных новшеств», «дополнению инструментария» и прочему, внесены изменения в алгоритмы символьной математики, изменен интерфейс, программа стала красивее, однако работает в несколько раз медленнее, т.к. написана под Microsoft .NET Framework 4.

При решении многих инженерных задач возникает необходимость в установлении связи между k независимыми переменными x₁, х₂,…, x_k и зависящей от них величиной у. Между переменными величинами возможны следующие типы связей:

• 1. Функциональная связь между неслучайными величинами. В этом случае зависимая переменная у вполне определенно задается независимыми переменными x₁, х₂,…, x_k.
• 2. Функциональная связь между случайными величинами.
• 3. Стохастическая связь между случайными величинами. Стохастическая связь проявляется в том, что одна из случайных величин реагирует на изменения другой изменениями своего закона распределения. Наиболее простым видом стохастической связи является корреляционная связь. Корреляционная связь между двумя случайными величинами выражается в том, что на изменения одной случайной величины другая случайная величина реагирует изменениями своего математического ожидания или среднего значения.
• 4. Связь случайной величины с величинами неслучайными.

Анализу последнего вида связи, который широко используют в статистических методах планирования эксперимента, посвящена данная работа. Природа связи случайной величины с величинами неслучайными может быть двоякой:

• а) измерения зависимой переменной у связаны с некоторой ошибкой измерения, а переменные x₁, х₂,…, x_k измеряются без ошибок или эти ошибки пренебрежимо малы по сравнению с ошибкой измерения зависимой переменной;
• б) значения переменной у зависят не только от контролируемых факторов x₁, х₂,…, x_k, но и от ряда неконтролируемых факторов, поэтому при каждом сочетании значений x₁, х₂,…, x_k зависимая переменная у подвержена колебаниям случайного характера.

Часто возникает необходимость в установлении связи между случайной величиной у и неслучайными переменными x₁, х₂,…, x_k, принимающими в каждой серии опытов определенные значения. Величина у является случайной, имеет нормальное распределение с центром распределения М[у], изменяющимся при изменении значений факторов x₁, х₂,…, x_k.

Случайная величина у имеет постоянную дисперсию, т. е. дисперсию, не зависящую от x₁, х₂,…, x_k. Математическое ожидание М[у] является функцией x₁, х₂,…, x_k, т. е. на каждое изменение неслучайных величин x₁, х₂,…, x_k случайная величина у реагирует изменением своего математического ожидания. Выражение называют уравнением регрессии математического ожидания случайной величины у по неслучайным величинам x₁, х₂,…, x_k. Тип функции может быть линейным или криволинейным. Таким образом, в основе регрессионного анализа лежат следующие предположения:

• 1. при каждом сочетании значений x₁, х₂,…, x_k, величина у имеет нормальное распределение;
• 2. дисперсия теоретического распределения случайной величины у постоянна;
• 3. тип функции известен;
• 4. независимые переменные x₁, х₂,…, x_k измеряются с пренебрежимо малыми ошибками по сравнению с ошибкой в определении у;
• 5. переменные x₁, х₂,…, x_k линейно независимы.

Таким образом, регрессионный анализ линейного уравнения можно представить в виде последовательности следующих операций:

• * Составляют Х-матрицу условий опытов и Yматрицу наблюдений.
• * Строят матрицу X*, транспонированную к Х-матрице.
• * Вычисляют матрицу произведения Х*Х.
• * Находят матрицу (Х*Х)-1, обратную матрице Х*Х.
• * Вычисляют матрицу произведения X*Y.
• * Определяют коэффициенты уравнения регрессии.