Сведение задачи (1) — (6) к гиперболической системе

Введем вместо z координату x:

.

Где.

есть скорость распространения поперечных сейсмических волн в пористой среде.

После перехода к координате x, скорость распространения сейсмических волн в пористой среде становится равной единице. Так как [9].

то уравнение (1) имеет вид.

Граничное условие (5) после замены приобретает вид.

В (7) и (8) положим.

Тогда.

(9).

Введем вектор-функцию с помощью формулы

где — вектор с компонентами.

.

После простых преобразований получим уравнения в терминах функции.

(11).

(13).

(14).

Условия (5), (6) переписываются в виде.

(15).

В формулах (11), (15).

точка над переменной означает производную по времени.

Формулировка прямой задачи для системы (11), (12)

Рассмотрим ситуацию, когда источник, порождающий волны в пористой среде таков, что соответствующее ему решение системы (11), (12) имеет вид.

где — дельта-функция Дирака, — непрерывные при функции, имеющие, возможно, разрывы при.

Пусть компоненты связаны при соотношением.

(18).

гдезаданная функция вида.

Решение прямой задачи (11), (12) ищем в виде (16), (17). Положим по определению, что .

Обозначим независимые переменные вместо через Проинтегрируем первое уравнение системы (11).

вдоль характеристики проходящей через фиксированную точку.

Второе уравнение системы (11).

проинтегрируем вдоль характеристики.

Здесь мы воспользовались условием.

Интегрируя уравнение (12) от до и учитывая (14), получим.

Учитывая, что.

1).

• 2) имеет образную особенность при
• 3) при получим из (19)-(21) при

• (22)
• (23)

(24).

Поставив в (22) вместо его выражение из граничного условия (18), получим с учетом (23):

Соотношения (23)-(25) при известных и представляют собой относительно замкнутую систему вольтерровых интегральных уравнений второго рода. Как известно, такая система всегда разрешима. Решением является непрерывная функция от .

Определение. Будем называть решением задачи для системы (11), (12) с нулевым начальным условием и граничным условием (18) обобщенную функцию от вида (16), зависящего от параметра, равную нулю при являются непрерывными при функциями, удовлетворяющими системе интегральных уравнений (23)-(25).