Устойчивое оценивание параметров управляемых объектов

Устойчивое оценивание параметров управляемых объектов

В последнее время в связи с предъявлением все более высоких требований к процессам управления в различных областях техники проблема идентификации становится исключительно важной. Нельзя обеспечить качественное управление системой, если ее математическая модель не известна с достаточной точностью. Для построения математической модели могут быть использованы как теоретические, так и экспериментальные методы. Известно, что нельзя построить математическую модель, адекватную реальной системе, только на основе теоретических исследований физических процессов в системе. Сформированная таким образом математическая модель, как правило, значительно отличается от реальной системы, что приводит соответственно к снижению качества управления. Поэтому в процессе проектирования систем управления одновременно с теоретическими исследованиями проводятся многочисленные эксперименты по определению и уточнению математической модели системы. Определение всех характеристик процесса, модель которого нужно построить, не является, вообще говоря, не только возможным, но даже и желательным. Характеристики, знать которые необходимо, определяются целью, поставленной перед системой, допустимой степенью сложности системы в целом и требованиями к сопутствующим вычислительным процедурам.

Широко распространены алгоритмы идентификации [1,2], основанные на методе наименьших квадратов, который обеспечивает получение среднеквадратических оценок параметров. Эти методы пригодны и для нестационарных процессов с медленно меняющимися параметрами. Они могут использоваться для построения части модели вход-выход-шум, а также для оценки неизвестных параметров заданных нелинейных функций или полиномиальных аппроксимаций неизвестных нелинейных функций. Регрессионные методы позволяют проводить идентификацию при одновременных воздействиях на нескольких входах системы и, могут быть представлены в рекуррентной форме. Перечисленные обстоятельства свидетельствуют об эффективности методов идентификации с помощью регрессионных методов.

Рассмотрим линейную дискретную динамическую систему вида:

(1).

где — -мерный вектор состояния, - -мерный вектор управления, — -мерный вектор шума объекта с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей .

Введем следующие обозначения.

.

.

Следовательно, уравнение (1) запишется в виде.

.

Тогда для оцениванияй строки матрицы можно использовать выражение вида.

(2).

Где.

.

.

В тех случаях, когда отсутствуют сведения об априорном распределении, рекомендуется в качестве оценки вектора брать такое значение, которое с наибольшей вероятностью обусловливает появление именно заданного вектора. При нормальном распределения вектора шума измерения с нулевым средним и ковариационной матрицей оценка максимального правдоподобия находится из системы алгебраических уравнений.

(3).

и является несмещенной и эффективной при конечном объеме измерений [1,3].

Несмотря на хорошие статистические свойства, применение оценки очень ограниченно. Это связано с плохой обусловленностью матрицы, что при отсутствии априорных ограничений на значение вектора вызывает большие ошибки оценивания вектора. Более того, матрицы и имеют худшую обусловленность, чем матрица исходного уравнения (2), поэтому при решении (3) возможно проявление численной неустойчивости, заключающейся в том, что малые погрешности в исходных данных могут вызвать конечные, но неприемлемые по величине ошибки решения.

В сформулированных выше условиях на основании методов теории некорректно поставленных задач [4,5] регулярное решение уравнения (3) можно записать в виде:

.

где — положительно определенная матрица, — параметр регуляризации.

Матрицу, например, можно выбирать в виде:

.

Здесь параметр регуляризации целесообразно определять как корень следующего нелинейного уравнения:

.

Рассматривался также минимаксный вариант решения рассматриваемой задачи на основе различных способов задания «множества корректности», минимизирующего среднеквадратическую ошибку решения уравнения (2).

Для решения уравнения (2) можно также применить методы и алгоритмы калмановской фильтрации [6,7]. Тогда модель динамического процесса, соответствующего уравнению (2), определится уравнениями.

.

.

где — -ая строка матрицы .

Из общих уравнений фильтра Калмана [6,7] следует, что оценка, минимизирующая среднеквадратическую ошибку оценивания, определяется рекуррентными соотношениями.

.

.

.

гдедисперсия шума измерения вх точках,.

.

Практическая реализация приведенных выше алгоритмов на основе разработанного программного обеспечения показала свою эффективность при решении разнообразных задач идентификации и управлении промышленными объектами.

Гроп Д. Методы идентификации систем. — М.: Мир, 1979. — 302 с.

Штейнберг Ш. Е. Идентификация в системах управления. -М.: Энергоатомиздат, 1987. — 80 с.

Кашьяп Р.А., Рао А. Р. Построение динамических моделей по экспериментальным данным. Пер. с англ. — М.: Наука, 1983. — 384 с.

Тихонов А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979. — 288 с.

Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н. Г., Седельников А. И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. -Новосибирск: Наука, 1984. -240 с.

Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. / Под ред. К. Т. Леондеса. Пер. с англ., — М.: Мир, 1980. — 407с.

Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана — Бьюси. — М.: Наука, 1982. — 200 с.