Распределение местных скоростей. 
Расход. 
Средняя скорость

труба ламинарный поток турбулентный Ламинарный режим движения.

Цилиндрические трубы круглого сечения. Распределение местных скоростей. Рассмотрим равномерное ламинарное напорное движение в цилиндрической трубе круглого поперечного сечения радиусом (рис. 8.1).

Движение — осесимметричное. Такое движение целесообразно рассматривать в системе координат (), где ось ОХ направлена вдоль оси трубы, а радиус точки в нормальном к оси сечении.

При равномерном ламинарном движении жидкости в трубе.

. (8.1).

Движение можно представить как совокупность бесконечно тонких кольцевых концентрических слоев, перемещающихся относительно друг друга.

Рис. 8.1.

Возникающие между слоями жидкости касательные напряжения по Ньютону.

. (8.2).

С ростом (от оси к стенке трубы) скорость и уменьшается, поэтому градиент скорости. Поскольку касательное напряжение величина положительная, в (8.2) вводится знак минус.

Для касательного напряжения ранее было получено соотношение (7.31).

.

где — гидравлический уклон.

Приравняв (7.31) и (8.2), получим.

(8.3).

откуда.

.

Полагая, что не изменяется в пределах живого сечения, и учитывая, что не зависит от, получаем.

.

После интегрирования.

.

Находим постоянную интегрирования из условия «прилипания» жидкости к стенке. При скорость, поэтому.

.

Тогда для местной скорости в точке живого сечения, расположенной на расстоянии от оси трубы, имеем.

. (8.4).

Таким образом, при ламинарном движении жидкости в цилиндрической трубе круглого сечения (напорный поток) распределение местных скоростей по радиусу имеет параболический характер (рис. 8.1). Плоская эпюра скорости — парабола.

Из (8.4) следует, что максимальная скорость имеет место на оси трубы, т. е при =0.

.

Выразим местную скорость через.

. (8.5).

Безразмерная местная скорость.

. (8.6).

Следовательно, эпюры безразмерных местных скоростей при ламинарном движении жидкости в трубах одинаковы и их можно представить параболой (8.6).

Расход. Для определения расхода в одном из поперечных сечений трубы выделим на расстоянии от оси трубы элементарную площадку в виде кольца толщиной (рис. 8.1). Площадь кольца. Расход через площадку определится по соотношению. Расход через сечение.

.

Подставив значение и из (8 5) и помня замечание о независимости от, получим.

(8.7).

или.

. (8.8).

Важно отметить, что при заданном расход в трубе в условиях напорного ламинарного движения пропорционален четвертой степени диаметра.

Средняя скорость. Учитывая, что, найдем выражение для средней скорости.

. (8.9).

Сравнивая формулы для и, видим, что.

(8.10).

т.е. средняя скорость в сечении напорного ламинарного потока в цилиндрической трубе круглого сечения равна половине максимальной скорости.

Коэффициент кинетической энергии равен.

.

Градиент местной скорости, т. е изменяется прямо пропорционально расстоянию данной точки (данного слоя) от оси трубы. Градиент .

Касательные напряжения линейно увеличиваются от нуля на оси трубы до на стенке (рис. 8.1).

Действительно,.

а откуда, что совпадает с (7.31).

Открытые безнапорные ламинарные потоки. Такие потоки возникают, например, при стенании дождевых вод по склону.

Рис. 3 2.

Распределение местных скоростей. Рассмотрим плоский ламинарный безнапорный поток с углом наклона дна. Выделим в потоке отсек ABCD длиной, высотой, шириной, равной единице (рис. 8.2).

Направим ось ОХ вдоль потока параллельно поверхности потока и дну (при равномерном движении в открытом потоке они параллельны), ось ОZ направлена по внешней нормали к дну.

Спроектировав на ОХ все действующие на массу жидкости в отсеке ABCD силы и приравняв нулю их сумму, получим уравнение равномерного движения выделенной массы.

Проекция силы тяжести ABCD равна. Проекция силы трения по нижней поверхности ВС равна. Уравнение равномерного движения массы жидкости в выделенном отсеке.

.

Но.

.

Подставив в предыдущее соотношение, получим.

или.

.

При малых углах, где — уклон дна. Тогда.

.

Проинтегрировав в пределах от 0 до, получим.

.

При =0 скорость =0, следовательно, постоянная интегрирования =0, тогда для распределения скоростей в открытом потоке.

. (8.11).

Таким образом, скорости распределяются по глубине рассматриваемого потока по параболе. Максимальная скорость в данном случае будет иметь место на поверхности:

.

Расход.

.

Средняя скорость.

.

Касательные напряжения изменяются по линейному закону от 0 у поверхности до у дна.