Формула второго замечательного предела
Вторым замечательным пределом называется предел Второй замечательный предел существует. Его значение e — число, равное.
Число e, заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число e часто называют основанием натуральных логарифмов.
Доказательство второго замечательного предела
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что.
.
Рассмотрим два случая:
1) Пусть .
Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:, где это целая часть x.
Отсюда следует:
Поэтому Если, то. Поэтому, согласно пределу имеем, По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов.
2) Пусть. Сделаем подстановку, , тогда Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Следствия
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
Список использованной литературы
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа (в двух частях) Высшая математика (Учеб. пособие). Авторы: Никулина Л. С., Степанова А. А., редактор: Александрова Л. И Г. М. Вартанян. Конспект лекцiй з математичного аналiзу. Одесса 2009.
Б. П. Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу.
