Уравнение теплопроводности. 
Процессы переноса

В этом параграфе будут рассмотрены элементы математической теории теплопроводности. Основы этой теории были заложены французским математиком Фурье (1768−1830) в первой четверти XIX века. Естественно, что Фурье исходил из представлений теории теплорода, которой тогда пытались объяснить все тепловые явления. Эти представления неверны. Но если объем системы или давление поддерживаются постоянными, то явления протекают так, как если бы теплота была каким-то веществом, которое может только перемещаться в пространстве, но не может создаваться или уничтожаться. Если постоянен объем системы, то количество теплоты следует отождествить с внутренней энергией, а если постоянно давление, то — с энтальпией системы. В обоих случаях математические основы теории теплопроводности Фурье остаются верными, хотя их физическое обоснование не имеет ничего общего с представлениями, из которых исходил сам Фурье.

В дальнейшем предполагается, что передача теплоты осуществляется исключительно путем теплообмена. Предполагается, что конвекции нет. В твердых телах это осуществляется само собой. В жидкостях же и газах надо позаботиться, чтобы конвекция была устранена, например, нагревать эти тела сверху. Точно так же предполагается, что потерями теплоты на лучеиспускание можно пренебречь. Кроме того, будем предполагать, что объем системы остается постоянным, так что никаких перемещений вещества в процессе передачи теплоты не возникает. Ограничимся, наконец, рассмотрением только одномерных задач, когда температура тела, помимо времени, зависит только от одной пространственной координаты.

В математической теории теплопроводности распространение теплоты рассматривается подобно течению жидкости. Плотностью потока теплоты называется вектор j, совпадающий по направлению с направлением распространения теплоты и численно равный количеству теплоты, проходящему в одну секунду через площадку в один квадратный сантиметр, перпендикулярную к направлению потока теплоты. Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет вектор j в одномерных задачах.

Пусть имеется неограниченная среда, в которой возникает поток теплоты в направлении, параллельном оси X. В одномерном общем случае свойства среды и величины, характеризующие тепловой поток, могут меняться в том же направлении. Кроме того, они могут меняться во времени. Поэтому плотность потока теплоты j следует рассматривать как функцию координаты x и времени t: j = (x, t). Выделим мысленно в среде бесконечно длинную призму или цилиндр с образующими, параллельными оси X, и рассмотрим бесконечно малый участок такого цилиндра АВ длиной dx (рис. 3.16). Пусть S — площадь поперечного сечения цилиндра. Количество теплоты, поступающее в цилиндр АВ за время dt через основание, А с координатой x, равно j (x)Sdt. Количество теплоты, уходящее за то же время через основание В, будет j (x + dx) Sdt. Так как через боковую поверхность цилиндра теплота не поступает, то полное количество теплоты, поступающее за время dt через рассматриваемый участок цилиндра, равно, Но эту теплоту можно представить в виде dM c_vdT, где dM = сSdx — масса цилиндра АВ, c_v — удельная теплоемкость, dТ — повышение температуры. Приравнивая оба выражения и производя сокращение, получим.

(35).

Теперь надо установить связь между плотностью потока теплоты и температурой среды Т. Опыт показывает, что поток теплоты имеет место только тогда, когда температура среды меняется от точки к точке. Теплота течет всегда в направлении от высшей температуры к низшей. Простейшим является случай бесконечной однородной пластинки толщиной l. Если на одной плоской границе пластинки поддерживается температура T₁, а на другой — температура Т₂, причем Т₁ > Т₂, то опыт показывает, что поток теплоты пропорционален разности температур Т₁ -Т₂ и обратно пропорционален толщине пластинки l. Математически это можно представить в виде.

где к — положительная постоянная, зависящая только от материала пластинки и его физического состояния. Эта постоянная называется теплопроводностью материала пластинки. Термин «теплопроводность» употребляется в двух смыслах:

• 1) как явление передачи теплоты,
• 2) как коэффициент для количественного описания этого явления. Из контекста будет ясно, в каком смысле употребляется этот термин.

Аналогичное замечание по терминологии относится и к другим понятиям, как-то: температуропроводностъ, диффузия, термодиффузия, вязкость, поверхностное натяжение и пр. Впрочем, перед некоторыми аналогичными понятиями слово «коэффициент» необходимо сохранить. Примером может служить коэффициент концентрации диффузии.

Допустим, что пластинка бесконечно тонкая. Если ось X направлена в сторону понижения температуры, то l = dx, T₁ = T (x), T₂ = T (x+dx),.

.

и формула (35) переходит в.

(37).

Выражение (37) остается верным и в том случае, когда ось X направлена в сторону повышения температуры, так как в этом случае l = -dx, T₁ = Т (х + dx), Т₂ = Т (х). Оно также справедливо и в общем случае неоднородной среды с совершенно произвольным распределением температуры, и притом не только слоистой среды, но и такой, свойства и температура которой являются функциями всех трех пространственных координат х, у, z. Достаточно в рассматриваемой точке пространства направить ось X в сторону максимального понижения или повышения температуры и рассмотреть бесконечно тонкий слой, перпендикулярный к этому направлению. Такой слой может считаться однородным, и к нему применима формула (8.3). Теплопроводность к будет функцией всех трех пространственных координат х, у, z. В нашей одномерной задаче она будет зависеть только от одной пространственной координаты х: к = к (х).

Если выражение (3.37) подставить в формулу (3.35), то получится.

(38).

Это уравнение называется уравнением теплопроводности. В частном случае, когда среда однородна и теплопроводность к не зависит от температуры, уравнение принимает вид:

(39).

или.

(40).

где введено обозначение.

(41).

Постоянная ч называется температуропроводностью среды.

В среде могут оказаться источники теплоты. Например, теплота может выделяться в результате прохождения электрического тока или радиоактивного распада. Такие источники мы не принимали во внимание. Чтобы их учесть, введем величину q, равную количеству теплоты, выделяемому источниками в единице объема среды в одну секунду. Тогда вместо уравнения (35) следует писать.

(42).

В соответствии с этим изменятся и остальные уравнения.

В общем случае, когда свойства и температура среды зависят от всех трех пространственных координат х, у, z, уравнение теплопроводности, выражающее баланс теплоты в теле, имеет вид:

(43).

Однако решения такого уравнения аналитически можно получить только в простейших случаях. Наиболее важными являются случаи, когда среда и распределение температуры в ней обладают сферической или цилиндрической симметрией. Поэтому мы не будем использовать уравнение в общем виде, а ограничимся случаями сферической и цилиндрической симметрии. В этих случаях вместо прямоугольной системы координат более удобными являются сферическая и цилиндрическая координатные системы.

Рассмотрим сначала случай сферической симметрии. Вектор плотности потока теплоты j направлен вдоль радиуса, причем j, помимо времени зависит только от r. Опишем вокруг центра симметрии две концентрические сферы с радиусами r и r + dr (рис. 17). Количество теплоты, поступающее за время dt в пространство между этими сферами через первую их них, равно j® 4рr²dt. Количество теплоты, вытекающее за то же время через вторую сферу, будет j (r + dr) 4р (r + dr)²dt. Эти два количества удобно писать в виде 4р (jr²)_rdt и 4р (jr²)_r+drdt, чтобы подчеркнуть, что речь идет об одной и той же функции jr², но при разных значениях аргумента: rиr + dr. Разность между ними.

даёт количество теплоты, втекающее за время dt в рассматриваемый сферический слой из окружающего пространства. При наличии источников сюда надо добавить количество теплоты 4рqr²drdt, поставляемое источниками в сферическом слое. Но изменение количества теплоты в слое можно представить в виде с * 4рr²dr * c_vdT. Поэтому уравнение баланса теплоты будет.

(44).

Вместо соотношения (3.37) следует писать j = -к?T/?r, так что.

(45).