Теоретические основы моделирования

Этапы моделирование. Постановка задачи и обоснование критерия оптимальности

Специалист любого профиля и уровня — агроном, зооинженер, экономист, директор совхоза — управляет теми или иными системами: производственными объектами, техническими процессами, коллективами работников, предприятием и т. д. Совершенствование управления является важнейшим условием ускорения социального и экономического развития общества.

Управление общественным производством предполагает принятие и реализацию научно обоснованных решений, что связано с анализом предыдущего состояния системы, выявлением её закономерностей, накоплением сведений о типах поведения системы при различных формах воздействия, прогнозированием её в будущем. Знания о том, как поведет себя система в разных условиях, при различных формах управленческих воздействий специалисты получают путем имитирования её поведения на моделях. Модели позволяют воспроизводить поведение систем в очень широком диапазоне изменяющихся условий, включая и такие, которые в реальной действительности трудно наблюдать, или сопряженные с большими затратами и риском. В результате «проигрывания» производственных ситуаций оказывается возможность исследовать большое число вариантов развития системы и выбрать наилучший с точки зрения достижения поставленной цели.

Разработка экономико-математической модели осуществляется поэтапно в определенной последовательности.

• 1. Постановка задачи и обоснование критерия оптимальности.
• 2. Определение перечня переменных и ограничений.
• 3. Сбор информации и разработка технико-экономических коэффициентов.
• 4. Построение модели и ее математическая запись.
• 5. Перенесение информации на компьютер.
• 6. Анализ результатов решения, корректировка модели, повторное решение задачи.
• 7. Экономический анализ различных вариантов и выбор проекта плана.

Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

Наиболее ответственным моментом в математическом моделировании экономических процессов является правильная постановка задачи.

Постановка задачи предполагает четкую экономическую формулировку, включающую цель решения, установление планового периода, выяснение известных параметров объекта и тех, количественное значение которых нужно определить, их производственно-экономических связей, а также множества факторов и условий, отражающих моделируемый процесс.

Цель решения задачи выражается количественно конкретным показателем, называемым критерием оптимальности. Он должен соответствовать экономической сущности решаемой задачи. При этом необходим всесторонний и глубокий качественный анализ существа задачи и точная формулировка цели ее решения.

Для разработки линейной экономико-математической модели требуется соблюдение ряда условий.

• 1. Предполагается, что связи и зависимости моделируемого процесса носят линейный характер и их можно описать системой линейных уравнений и неравенств. Следует иметь в виду, что в широком диапазоне изменений факторов и результативных показателей производства зависимости между ними далеко не всегда являются строго линейными. В то же время в некотором ограниченном интервале возможных их вариаций, в котором осуществляется реальное планирование, эти зависимости могут описываться линейными функциями с практически приемлемой точностью.
• 2. Система линейных уравнений и неравенств, характеризующая всю совокупность условий экономического процесса, должна иметь множество решений. Этому требованию отвечает большинство экономических задач. Система линейных уравнений и неравенств должна быть неопределенной. Она должна быть также совместной.
• 3. Поскольку задача имеет множество возможных решений, необходим критерий, позволяющий выбрать из этого множества наилучший вариант. Выбор наилучшего варианта математически обеспечивается отысканием экстремального значения некоторого экономического показателя, представленного в целевой функции, причем сама функция должна быть линейной.
• 4. Существенным математическим требованием является условие неотрицательности переменных.

Математическая модель — это совокупность математических объектов и соотношений между ними, адекватно отображающая свойства и поведение исследуемого объекта.

Математика в самом общем смысле слова имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель охватывает класс неопределяемых математических объектов таких, как числа или векторы, и отношения между этими объектами.

Математическое отношение — это гипотетическое правило, связывающее два или более символических объекта. Многие отношения могут быть описаны при помощи математических операций, связывающих один или несколько объектов с другим объектом или множеством объектов (результатом операции). Абстрактная модель с ее объектами произвольной природы, отношениями и операциями определяется непротиворечивым набором правил, вводящих операции, которыми можно пользоваться, и устанавливающих общие отношения между их результатами. Конструктивное определение вводит новую математическую модель, пользуясь уже известными математическими понятиями.

Математическая модель будет воспроизводить подходящим образом выбранные стороны физической ситуации, если можно установить правило соответствия, связывающее специфические физические объекты и отношения с определенными математическими объектами и отношениями. Также интересным может быть и построение математических моделей, для которых в физическом мире аналогов не существует. Наиболее общеизвестными математическими моделями являются системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия, определяющие свойства этих моделей представляют собой более или менее непосредственные абстракции физических процессов (счет, упорядочение, сравнение, измерение).

Объекты и операции более общих математических моделей часто ассоциируются с множествами действительных чисел, которые могут быть соотнесены с результатами физических измерений.

Математическое моделирование — метод качественного и (или) количественного описания процесса с помощью, так называемой математической модели, при построении которой реальный процесс или явление описывается с помощью того или иного адекватного математического аппарата. Математическое моделирование является неотъемлемой частью современного исследования.

Математическое моделирование является типичной дисциплиной, находящейся на «стыке» нескольких наук. Адекватная математическая модель не может быть построена без глубокого знания того объекта, который «обслуживается» математической моделью. Иногда высказывается иллюзорная надежда, что математическая модель может быть создана совместно математиком, не знающим объекта моделирования, и специалистом по «объекту», не знающим математики. Для успешной деятельности в области математического моделирования необходимо знать как математические методы, так и объект моделирования.