Устойчивость по первому приближению

Лемма 5.2. Пусть {Л.,} — множество собственных чисел матрицы А. Обо;

def

значим Л = max Re А… Тогда для любого, а > Л существует число К > О, j ¹

такое что || е'^л || < Ке^ю для всех t > 0.

Доказательство. Рассмотрим матрицу В = А — аЕ. Множество ее собственных чисел {Я, — а}. Для любого собственного числа матрицы В верно, что Re (A.j — а) = ReA,_; — а < 0. Но если у матрицы все собственные числа имеют отрицательную вещественную часть, то норма ее стремится к нулю при t —> +°°. Следовательно, ее норма ограничена. Обозначим.

Тогда, так как е^{, А} = e^{t (}~^B+aE'> = e^tBe^tcE = e‘°e^tB, получаем, что || е^{, А} || < е'^а||е'^й|| < < Ке<�°.

Лемма доказана.

Будем считать, что.

причем g обладает хорошими свойствами, так что имеет место единственность решения задачи Коши, а эта добавка g (t, у) мала по сравнению с ||г/|| в окрестности нуля, т. е. что.

другими словами, g (t, у)|| = o (||y||), g (i, 0) = 0.

С помощью леммы 5.2 доказываются следующие две теоремы.

Теорема 5.7 (об устойчивости по первому приближению). Пусть все собственные числа матрицы, А имеют отрицательные вещественные части. Тогда пулевое решение системы (5.8) асимптотически устойчиво.

Теорема 5.8 (о неустойчивости по первому приближению). Если в условиях теоремы 5.7 у матрицы, А найдется такое собственное число Xj, что RеХ: > 0, то нулевое решение системы (5.8) неустойчиво.

Можно сказать, что в некритических случаях характер поведения системы сохраняется при допустимых возмущениях.

Пример 5.2.

Исследуем на устойчивость нулевое решение системы.

где функции |/j, |/₂ равны о (.г² + у²). Найдем собственные значения матрицы коэффициентов:

При а > 1 корни комплексные, ReX₁₂ = -3 < 0, при -8 < а < 1 корни вещественные отрицательные, значит, в этих случаях нулевое решение асимптотически устойчиво. При, а < -8 один из корней положителен, значит, нулевое решение неустойчиво. При а = -8 имеем Х_{ = О, Х₂ = -6 и вопрос об устойчивости не решается с помощью теорем 5.7 и 5.8.