Траектории автономных систем

Будем рассматривать автономную систему в векторной форме:

(2).

где функция f (x) определена в .

Автономные системы обладают тем свойством, что если — решение уравнения (2), то, , также решение уравнения (2). Отсюда в частности следует, что решение можно записать в виде. В геометрической интерпретации эта запись означает, что если две траектории уравнения (2) имеют общую точку, то они совпадают. При этом можно заметить, что траектория вполне определяется начальной точкой, поэтому можно везде считать .

Пусть — положение равновесия, т. е.. Для того чтобы точка была положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы. Предположим теперь, что траектория решения не является положением равновесия, но имеет кратную точку, т. е. существуют, такие, что. Так как — не положение равновесия, то. Поэтому можно считать, что при. Обозначим и покажем, что — -периодическая функция.

Действительно, функция является решением уравнения (2) при, причем. В силу единственности и совпадают при всех. Применяя аналогичное рассуждение к решению, получим, что определено при и функции и совпадают при этих t. Таким образом, можно продолжить на все, при этом должно выполняться тождество.

.

то есть — периодическая функция с наименьшим периодом.

Траектория такого решения является замкнутой кривой. Из приведенного вытекает следующий результат: Каждая траектория автономного уравнения (2) принадлежит одному из следующих трех типов:

положение равновесия;

замкнутая траектория, которой соответствует периодическое решение с положительным наименьшим периодом;

траектория без самопересечения, которой соответствует непериодическое решение.