Простейшие установившиеся фильтрационные потоки несжимаемой жидкости при линейном законе фильтрации

Дифференциальное уравнение установившегося движения несжимаемой жидкости (уравнение Лапласа) будет иметь следующий вид:

.

Для одномерного (плоскопараллельного потока между прямолинейным контуром питания и прямолинейной галереей стока):

;

при линейном законе фильтрации:

.

Решением дифференциального уравнения движения жидкости является известная формула Дарси:

.

где — расход жидкости в потоке; - рабочая толщина (мощность) пласта; - ширина потока; - длина потока (расстояние от контура питания до прямолинейной галереи стока); - пластовое давление на контуре питания; - пластовое давление на прямолинейной галерее стока.

Распределение давления вдоль линии тока, скорость фильтрации и градиент давления, вид карты изобар потока.

Для плоскорадиального потока дифференциальное уравнение движения жидкости имеет следующий вид:

.

В плоскорадиальном потоке возможны два направления движения жидкости: к центру потока (сток) или от центра (источник). Уравнения движения жидкости в обоих случаях будут отличаться лишь по знаку. Движение жидкости осуществляется между двумя концентрическими круговыми контурами, где поддерживается постоянное давление. Среди таких контуров выделяют контур питания и контур, совпадающий со стенкой скважины (давление на последнем контуре носит название забойного давления).

При линейном законе фильтрации, когда:

.

решением дифференциального уравнения движения жидкости является известная формула Дюпюи для притока жидкости в скважину (к стоку):

.

где — радиус кругового контура питания; - давление на контуре питания и забойное давление (давление на стенке скважины); - радиус скважины.

Вокруг работающей скважины (стока) образуется симметричная область пониженных давлений (воронка депрессии), описываемая логарифмическим уравнением. Зависимость между расходом жидкости в установившемся плоскорадиальном потоке и перепадом давления линейная:

.

Коэффициент пропорциональности носит название коэффициента продуктивности скважины, а величина, обратная коэффициенту продуктивности, щ называется фильтрационным сопротивлением скважины.

.

График зависимости между расходом (дебитом скважины) и перепадом давления (депрессией) носит название индикаторной диаграммы скважины. Эта зависимость положена в основу определения коэффициента проницаемости по результатам исследования скважины методом установившихся отборов.