Физический и динамический хаос. 
Неравновесные фазовые переходы

Хаос и порядок — понятия, которые играли существенную роль уже в мировоззрении философов древности. Не вдаваясь в детали, отметим лишь сформулированные ими положения, которые сохраняют свое значение и по сей день.

По представлениям Платона и его учеников, хаос — состояние материи, которое остается по мере устранения возможностей проявления ее свойств. С другой стороны, из хаоса возникает все, что составляет содержание мироздания, то есть из хаоса может рождаться порядок.

В физике понятия «хаос» и «хаотическое движение» являются фундаментальными, но все же недостаточно четко определенными. Действительно, согласно Больцману, наиболее хаотическим является движение в состоянии равновесия. Хаотическими, однако, называют и движения, далекие от равновесного. Это, например, «движения» в генераторах шума, предназначенных для подавления сигналов.

Хаотическими называют, как правило, и различного рода турбулентные движения в газах и жидкостях. Примером служит турбулентное движение в трубах. Оно возникает из ламинарного движения при достаточно большом перепаде давления на концах трубы. При этом представление о турбулентном движении как более хаотичном, чем ламинарное, кажется само собой разумеющимся. Такой вывод основан, однако, на смешении понятий сложности и хаотичности. При наблюдении турбулентного движения проявляется именно сложность движения. Вопрос же о степени хаотичности требует дополнительного анализа, и для количественных оценок необходимы соответствующие критерии.

В последние годы стало широко использоваться понятие «динамический хаос» для характеристики сложных движений в сравнительно простых динамических системах. Слово «динамический» означает, что отсутствуют источники флуктуаций — источники беспорядка.

По этой причине понятие «динамическая система» отвечает определенной идеализации. Более реальное хаотическое движение с учетом и случайных источников можно назвать «физический хаос». Его примером и является хаотическое движение атомов и молекул в состоянии равновесия.

Первый пример динамического хаоса был обнаружен в работе Эдварда Лоренца в 1963 году. Он исследовал решение уравнений, которые служат математической моделью конвективного движения в газах и жидкостях. Конвективное движение возникает благодаря совместному действию поля тяжести и градиента температуры, создаваемого внешним источником тепла. Речь идет, таким образом, об открытой системе.

Представим себе слой жидкости, который подогревается снизу. Конвективное движение выражается в том, что более нагретые элементы жидкости перемещаются вверх, а более холодные — вниз. Происходит тем самым передача тепла снизу вверх. При достаточно малых градиентах температуры перенос тепла определяется за счет теплопроводности. Это молекулярный — неорганизованный — процесс. Он не сопровождается упорядоченным гидродинамическим движением, которое могло бы, подобно регулировке уличного движения, управлять переносом тепла.

Ситуация существенно меняется, когда градиент температуры превышает некоторое критическое значение. Изменение проявляется в том, что в жидкости возникает упорядоченное макроскопическое движение. Оно и называется конвективным. В результате происходит саморегулировка теплового потока: внутри ячеек более теплая жидкость поднимается вверх, а по краям более холодная опускается вниз. Таким образом, распределение встречных тепловых потоков становится c упорядоченным.

Эта ситуация напоминает регулировку встречных потоков при уличном движении. Есть, однако, и существенная разница. Действительно, регулировка уличного движения регламентируется правилами уличного движения. При конвективном же движении имеет место процесс самоорганизации. Задается лишь градиент температуры. Перестройка же движения происходит благодаря внутренним свойствам самой системы. Внешне результат этой перестройки проявляется в том, что на поверхности жидкости появляется диссипативная пространственная структура — ячейки Бенара. Благодаря такой перестройке обеспечивается бЧльшая пропускная способность, чем при молекулярном — неупорядоченном — теплопереносе. Появление новой структуры можно рассматривать как неравновесный фазовый переход.

Другим примером неравновесного фазового перехода может служить возникновение когерентного электромагнитного излучения в квантовых оптических генераторах — лазерах.

Отметим условия, необходимые для возникновения неравновесных фазовых переходов, которые выражаются в образовании новых диссипативных структур.

Диссипативные структуры могут образовываться только в открытых системах. Только в них возможен приток энергии, компенсирующий потери за счет диссипации и обеспечивающий существование более упорядоченных состояний.

Диссипативные структуры возникают в макроскопических системах, то есть в системах, состоящих из большого числа элементов (атомов, молекул, макромолекул, клеток и т. д.). Благодаря этому возможны коллективные — синергетические взаимодействия, необходимые для перестройки системы.

Диссипативные структуры возникают лишь в системах, описываемых нелинейными уравнениями для макроскопических функций. Примерами могут служить кинетические уравнения, например уравнение Больцмана, уравнения газовой динамики и гидродинамики, уравнения Максвелла в электродинамике для напряженностей электромагнитного поля и т. д.

Для возникновения диссипативных структур нелинейные уравнения должны при определенных значениях управляющих параметров допускать изменение симметрии решения. Такое изменение выражается, например, в переходе от молекулярного теплопереноса к конвективному теплопереносу по ячейкам Бенара.

Неравновесные фазовые переходы гораздо разнообразней, чем равновесные. Они играют существенную роль не только в физических, но и в химических и биологических процессах. Все больше осознается роль неравновесных фазовых переходов и в социальных системах, и в экономике.

Рассмотрим математическую модель, которая была использована в работе Лоренца для описания конвективного движения в атмосфере с целью предсказания погоды.

Конвективное движение в атмосфере описывается весьма сложными уравнениями газовой динамики. Они служат примером уравнений механики сплошной среды. Для математического моделирования этого движения Лоренц использовал весьма упрощенную модель — систему трех обыкновенных, но нелинейных дифференциальных уравнений. Они представляют собой динамические уравнения для макроскопических характеристик среды — компонент Фурье локальной скорости и температуры. Их решение может быть проведено лишь численно, с помощью компьютеров.

Проведенный анализ показал, что при достаточно больших значениях градиента температуры поведение решения является настолько сложным, что соответствующие движения воспринимаются как хаотические. Это и дало основание ввести новое понятие «динамический хаос» .

Более того, было установлено, что малейшее изменение начальных условий радикально меняет характер движения. Тем самым движение оказывается динамически неустойчивым. Поскольку начальные условия могут быть заданы лишь с конечной точностью, то предсказание вида движения по заданным начальным условиям становится практически невозможным.

Таким образом, из-за наличия динамической неустойчивости движения в атмосфере задача долгосрочного прогноза погоды становится чрезвычайно трудной.