Понятие о вычете. 
Общая формула определения вычета относительно полюса

Вычетом функции f (z) в точке z=a при называется число, которая вычисляется по формуле. Где — достаточно малая окружность радиуса, и такая, что в ней нет других особых точек. В этом случае величина вычета не зависит от величины радиусы. Вычет f (z) в точке z=a обозначается .

Из формулы Следует, что вычет в точка z=a определяется по формуле:

(1).

То есть вычет функции f (z) в точке z=a равен коэффициенту. Это коэффициент при разложении ряда Лорана. Если особая точка устранена, то f (z) вычет равен нулю. Это определение вычета справедливо для конечных особых точек, когда .

С помощью вычетов можно существенно упростить вычисление интегралов от функции комплексного переменного. Вычисление интегралов можно свести к вычислению вычетов подынтегральной функции в особых точек. Пусть — спрямляемый контур и G — область, ограниченная этим контуром. Пусть функция f (z) аналитична в области G за исключением конечного числа точек. Тогда область G и контур внутри этой области — изолированные точки. Вокруг каждой из этих точек выделяем окружности.

Тогда справедлива формула:

(2).

Пусть функция f (z) имеет в точке z=a полюс порядка k, тогда ее разложение в ряд Лорана имеет вид:

Полюс же в этой точке будет вычисляться по этой формуле:

(3).

Если порядок полюса равен 1, то вычет вычисляется по формуле.

(4).

Если при этом f (z) представляет собой отношение P (z) и Q (z), которые аналитичны в точке z=a, то есть.

Тогда.

(5).

• 1. Интеграл Лапласа. Аналитичность изображения
• 1) Функция непрерывная для всех значений. Непрерывность может быть нарушена лишь в отдельных точках, которые являются точками разрыва непрерывности первого рода, причем число всех точек должно быть конечным на любом интервале ограниченной длины.
• 2) Функция равна нулю для всех значений переменного t, которое удовлетворяет неравенству .
• 3) Функция имеет ограниченный порядок возрастания, то есть можно указать такие постоянные числа и, при которых выполняется неравенство

для всех .

(1).

(2).

(3).

Функция, определяемая равенством (1) называется изображением по Лапласу оригинала f (t). Этот несобственный интеграл определяется как предел. Все функции и процессы в системах удовлетворяют равенству (3). С помощью уравнения (1) устанавливается соответствие между f (t) и ее изображением F (s). Символ преобразования будем записывать в виде (3). Интеграл Лапласа будет сходящимся, если существует предел правой части равенства (2). Установим, какие функции можно преобразовать по Лапласу. Ответ дает следующая теорема:

Если f (t) является оригиналом, то эта функция преобразуема по Лапласу, а ее изображение F (s) определено в полуплоскости, где — показатель роста функции f (t).

Доказательство.

Предположим, что интеграл правой части (1) выполняется в полуплоскости . Если теперь учесть условие (3) существования оригинала, то можно получить следующую оценку:

Но справедливо такое равенство:

и поэтому справедливо соотношение:

(4).

Так как, то при интеграл Лапласа сходится. И, следовательно, f (t), которая является оригиналом преобразования по Лапласу, то ее изображение F (s) определяется в той же части полуплоскости.

Из доказательства следует, что существует интеграл, то есть при соблюдении условия, что действительная часть больше, интеграл Лапласа не только сходится, но и расходится абсолютно.