Решение системы линейных алгебраических уравнений

Лабораторная работа

Тема: Решение системы линейных алгебраических уравнений Цель: Освоить технологию решения систем линейных алгебраических уравнений в интегрированной среде MathCad.

Задание: Решить систему линейных алгебраических уравнений.

• 1. матричным методом;
• 2. методом Гаусса;
• 3. используя функцию lsolve;
• 4. методом простой итерации;
• 5. методом Зейделя.

Методика выполнения задания:

Чтобы решить систему линейных алгебраических уравнений можно использовать несколько способов, причем технология нахождения параметров заданной системы линейных алгебраических уравнений на первых этапах аналогична, а именно, пусть задана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными, найдем ее решение. Для этого присвоим некоторой переменной М матрицу значений коэффициентов при неизвестных, воспользуемся динамической кнопкой, расположенной на панели инструментов Матрица, входящей в Математическую палитру интегрированной среды MathCad. Некоторой переменной V присвоим матрицу — столбец значений, расположенных в правой части системы алгебраических уравнений (то есть после знака =).

1. Определение решения системы матричным методом.

Используем представление системы линейных алгебраических уравнений в векторной форме, то есть A*X=B, где A — матрица значений при неизвестных, B — вектор свободных членов, а Х — вектор неизвестных, тогда исходя из этого уравнения Х=A-1*B, задав последнюю формулу получим решение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Определение решения методом Гаусса.

Сформируем расширенную матрицу системы Mr добавлением к матрице М справа матрицу V, используя встроенную функцию augment. Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду Mg, с помощью функции rref и выделим из нее блок матрицы — ее последний столбец, содержащий решение системы, с помощью функции submatrix.

3. Определение решения системы с помощью встроенной функции lsolve. линейный алгебраический математический

Активизируем кнопку Мастер функций на панели инструментов Стандартная и в категории Solving выберем встроенную функцию lsolve (M, V);

Результаты решения заданной системы линейных алгебраических уравнений отображены на рис. ().

l.

Рис. Пример решения системы линейных уравнений

4. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом простой итераций.

Порядок выполнения:

Введем переменную ORIGIN = 1 для нумерации столбцов и строк матрицы с 1 (по умолчанию ORIGIN=0). Сформируем матрицы б и в эквивалентной системы х= в + бх.

Для описания i и j воспользуемся кнопкой на панели Калькулятор, для нижних индексов — кнопкой на панели Матрицы.

Определим нормы матрицы б с помощью встроенных функций, используя кнопку на панели инструментов Стандартная.

Зададим начальное приближение, используя кнопку на панели Матрицы.

Вычислим 10 последовательных приближений и погрешности каждого из них.

Фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствующими вычислениями приведен ниже на рис ().

Рис. Пример решения системы линейных уравнений методом простой итерации

5. Решение системы линейных уравнений методом Зейделя.

Сформируем матрицы б и в преобразованной системы х= в + б1х+ б2х и матрицу б= б1+ б2.

Фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствующими вычислениями по методу Зейделя приведен ниже на рис ().

Рис. Пример решения системы линейных уравнений методом Зейделя

Варианты индивидуальных заданий Решить систему линейных уравнений:

• 1) матричным методом;
• 2) методом Гаусса;
• 3) используя функцию lsolve;
• 4) методом простой итерации;
• 5) методом Зейделя.

№ В.	Система линейных уравнений.	№ В.	Система линейных уравнений.