Магнитное поле тока. 
Закон Био-Савара-Лапласа

Цель работы: ознакомиться с методом измерения индукции магнитного поля при помощи датчика Холла, проверить закон Био-Савара-Лапласа, исследовать зависимость индукции магнитного поля в центре катушки от силы тока в катушке, изучить характер изменения индукции магнитного поля вдоль оси катушки для различных катушек.

Оборудование: Датчик Холла (аксиальный), измерительный модуль Тесла, датчик перемещения, датчик тока на 6 А, универсальный измерительный блок «Кобра 3», универсальный источник питания, набор катушек и кольцеобразных проводников, ПК.

Краткая теория.

Одним из источников магнитного поля является проводник с током. Любой элемент проводника с током создает вокруг себя магнитное поле, которое характеризуется вектором напряженности .

В соответствии с принципом суперпозиции с помощью закона Био-Савара-Лапласа можно рассчитать напряженность магнитного поля, создаваемого проводником с током произвольной формы, в любой точке пространства.

Для этого выделим на проводнике бесконечно малый отрезок dl. Вектор, равный по величине произведению силы тока на и сориентированный по направлению тока, называют элементом тока — (рис.1).

Согласно закону Био — Савара — Лапласа, элемент тока в точке пространства создает магнитное поле, напряженность которого dН определяется по формулам:

(1).

(2).

Рисунок 1 — Иллюстрация к закону Био-Савара-Лапласа.

Из закона Био — Савара — Лапласа следует, что элементарный вектор магнитной индукции в какой-либо точке С магнитного поля перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и. Вектора, и составляют правую систему векторов. Направление вектора определяется в соответствии с правилом векторного произведения. Для нахождения направления вектора осуществляют поворот рукоятки правого винта (буравчика) по кратчайшему пути от вектора к вектору. Направление поступательного движения винта совпадает с направлением вектора напряженности магнитного поля.

Результирующую напряженность магнитного поля в данной точке пространства определяют в соответствии с принципом суперпозиции:

.(3).

Рассчитаем напряженность магнитного поля на оси витка радиусом R, по которому течет ток I (рис. 2).

Выделим на проводнике бесконечно малый элемент и проведем радиус-вектор от элемента с током I· до выбранной точки пространства, в которой определяем напряженность поля .

Разложим вектор на аксиальную и радиальную компоненты. Из соображений симметрии радиальная составляющая напряженности магнитного поля равняется нулю.

. (4).

Рисунок 2 — К определению напряженности магнитного поля на оси витка.

В соответствии с рис. 2 аксиальная составляющая (проекция напряженности магнитного поля на ось Z) определяется выражением.

.(5).

Таким образом, напряженность магнитного поля на оси витка определяется компонентой .

Магнитное поле в веществе характеризуется вектором магнитной индукции.

(6).

где мo = 4р· 10−7 Гн/м — магнитная постоянная, ммагнитная проницаемость среды (для вакуума и воздуха м = 1).

Согласно (5), (6) индукция магнитного поля на оси витка определяется формулой:

. (7).

Рассчитаем индукцию магнитного поля на оси катушки цилиндрической формы из проволоки, витки которой намотаны в одном направлении и плотно прилегают друг к другу. Такую катушку называют соленоидом.

Отношение числа витков соленоида к его длине называют плотностью намотки n=N/L, а отношение длины соленоида к его радиусу — относительной длиной Л=L/R.

В соответствии с принципом суперпозиции магнитное поле соленоида представляет собой результат наложения полей, создаваемых несколькими круговыми токами, расположенными рядом и имеющими общую ось. Для расчета магнитного поля соленоида совместим ось z с осью катушки (рис. 3) и поместим начало координат в центр катушки.

Рисунок 3 — Иллюстрация к расчету индукции магнитного поля вдоль оси катушки.

На длине dz протекает ток Indz. Такой «виток» в точке с координатой z0 создает поле, напряженность которого равна:

(8).

Результирующая индукция магнитного поля в точке z0:

(9).

Тогда в центре катушки:

. (10).

Внутри длинного соленоида (L>>R) вдали от его краев магнитное поле можно считать однородным и магнитная индукция определяется по формуле:

B = ,(11).

где µ - магнитная проницаемость среды внутри соленоида.

Формулу (11) можно получить из формулы (9), положив R = 0, т.к. L >> R.

О степени однородности магнитного поля соленоида можно судить по характеру линий магнитной индукции. Линии индукции магнитного поля соленоида изображены на рис. 4.

По густоте линий магнитной индукции судят также и о величине индукции магнитного поля. Она максимальна в центре катушки.

Принцип действия датчика Холла В данной работе индукция магнитного поля измеряется с помощью датчика Холла. Принцип действия датчика основан на явлении Холла. Это явление принадлежит к группе гальваномагнитных явлений, относящихся к изменению электрических свойств проводников и полупроводников под влиянием магнитного поля.

Рассмотрим проводник в виде прямоугольного бруска, по которому идет постоянный ток I (рис. 5).

Рисунок 5 — Иллюстрация к явлению Холла.

Перпендикулярно проводнику направлено магнитное поле. К точкам, А и С на противоположных гранях б и в присоединены электроды, соединенные с чувствительным вольтметром. Электроды устанавливаются так, чтобы в отсутствие магнитного поля их потенциалы были одинаковыми. При появлении магнитного поля между точками, А и С возникает разность потенциалов UH (разность потенциалов Холла).

Электронная теория объясняет явление Холла как следствие действия на электроны проводимости силы Лоренца:

индукция магнитный лаплас ток.

.

.

где q — величина заряда, — средняя скорость дрейфа электронов, В — индукция магнитногополя, — угол между вектором магнитной индукции и средней скоростью дрейфа электронов.

Эта сила вызывает смещение электронов (и вообще носителей тока) перпендикулярно направлению их движения по правилу векторного произведения. При направлении тока, указанном на рис. 5, электроны начинают смещаться к грани в. На грани в появится избыточный отрицательный заряд, а на грани б — избыточный положительный заряд. При этом возникает поперечная разность потенциалов цА — цС и поперечное электрическое поле, перпендикулярное к вектору В и направлению электрического тока I. Со стороны этого электрического поля на электрон будет действовать сила:

.

где d — расстояние между гранями б и в.

Перемещение электронов к грани в будет происходить до тех пор, пока действие силы Лоренца не будет уравновешено действием электрической силы со стороны поперечного электрического поля Fл = Fэ. Между гранями б и в установится разность потенциалов, которую называют разностью потенциалов Холла:

UH =.

Найдем скорость электронов из выражения для силы тока:

Окончательное выражение для UH имеет вид:

UH=,.

где R = 1/(q n) — постоянная Холла.

Явление Холла получило значительное техническое применение. Так, датчик Холла, в котором создается ЭДС (UH) при возникновении магнитного поля, можно использовать для измерения магнитной индукции постоянных и переменных магнитных полей. Эквивалентную схему датчика (рис.6) можно представить в виде узлового соединения четырех резисторов и двух источников напряжения, включенных последовательно с выходными выводами.

Рисунок 6 — Эквивалентная схема датчика Холла.

Описание установки Общий вид лабораторной установки изображен на рис. 7.

Рисунок 7 — Общий вид лабораторной установки для измерения магнитного поля.

Магнитная индукция измеряется при помощи датчика Холла, который подключается к модульному порту «Кобра 3» через измерительный модуль Тесла.

Для регистрации тока устройство «Датчик на 6 А» соединяется с аналоговым входом «Analog In 2/S2» измерительного блока «Кобра 3» .Исследуемая катушка подключается источнику питания УИП и датчику тока на 6 A согласно рис. 8.

Рисунок 8 — Схема подключения исследуемой катушки.

Положение датчика Холла вдоль оси соленоида регистрируется с помощью датчика перемещения. Схема подключения датчика перемещения к блоку «Кобра 3» изображена на рис. 9.

Рисунок 9 — Схема подключения датчика перемещения к измерительному блоку «Кобра 3» .

Выполнение работы и обработка измерений Упражнение 1.

• 1. Соберите экспериментальную установку согласно рис. 1?3.
• 2. Включите компьютер. Запустите программу для проведения измерений и выберите в меню «Gauge» («Устройство») «Cobra 3 Force/Tesla». Установите (выберите) параметры в диалоговом окне, как показано на рис. 10.

Рисунок 10 — Окно определения параметров измерителя «Сила/Тесла»

3. При установке окна 1 (display 1) подтвердите показ в этом окне величины магнитной индукции (Flux density B); окна 2 (display 2) — показ величины силы тока (Current I); окна 3 (display 3) — показ положения (Distance) датчика Холла.

При установке окна диаграммы 1 (diagram 1) введите параметры, как показано на рисунке 11.

4. Проведите калибровку датчика перемещения. Для этого нажмите кнопку «Options» («Опции») и установите параметры в окне установки для «Angle/Distance» («Угол/Расстояние») как показано на рисунке 12. Для проведения калибровки обмотайте нить, привязанную к штативу с датчиком Холла, один раз вокруг шкива датчика движения и, нажав кнопку «Start» («Старт») в окне определения параметров «Угол/Расстояние», переместите штатив с датчиком Холла точно на 10 см вдоль линейки. Нажмите кнопку «Stop» («Стоп») в том же окне.

5. Проведите калибровку датчика Холла. Для того установите параметры в окне «Калибровка» «Calibration», как показано на рисунке 13. Нажмите кнопку «Calibrate» («Калибровать») в этом же окне.

Рисунок 13 — Окно установки параметров «Калибровка» («Calibration») измерителя «Сила/Тесла» .

6. Установите параметры в окне «Flux density» («Плотность потока») и в окне «Voltage/Current» («Напряжение/Сила тока»), как показано на рисунках 14 и 15, соответственно.

Рисунок 14 — Окно установки параметров «Плотность потока „(“ Flux density») измерителя «Сила/Тесла»

Рисунок 15 — Окно установки параметров «Напряжение/Сила тока» («Voltage/Current»).

• 7. Начните измерения, нажав кнопку «Continue „(“ Далее»).
• 8. Расположите датчик Холла в центре катушки, сориентировав его вдоль ее оси.
• 9. Источник питания должен работать в режиме источника постоянного тока (над регулятором тока должен гореть красный сигнал светодиода). Для этого первоначально поставьте регулятор напряжения в среднее положение (? 6 В).
• 10. Начните запись данных, щелкнув на кнопке «Start measurement» («Начать измерения»).
• 11. Плавно вращая ручку регулировки тока и изменяя силу тока с шагом 0,1−0,5А (Параметры катушки и максимально возможное значение силы тока указаны на торце катушки) измерьте величину магнитной индукции в центре катушки при различных значениях силы тока.
• 12. Завершите опыт, щелкнув по кнопке «Stop measurement» .
• 13. Ручку регулировки тока поверните в крайнее левое положение, понизив ток до нуля.
• 14. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу

№.	I, мA.	B (0), мТл.	N.	L, м.	R, м.	I•B (0), мА•мТл.	I2, мА2.	мА•мТл.	мА2.
…

15. Используя МНК (см. приложение А), рассчитайте величину магнитной постоянной по формуле.

.

14. Постройте график зависимости .

Упражнение 2.

• 1. Повторите пункты 1−7 упражнения 1.
• 2. Расположите датчик Холла на одном из краев катушки, сориентировав его вдоль ее оси.
• 3. Источник питания должен работать в режиме источника постоянного тока (над регулятором тока должен гореть красный сигнал светодиода). Для этого первоначально поставьте регулятор напряжения в среднее положение (? 6 В).
• 4. Начните запись данных, щелкнув на кнопке «Start measurement» («Начать измерения»).
• 3. Плавно вращая ручку регулировки тока, выставьте заданное преподавателем значение силы тока. Параметры катушки и максимально возможное значение силы тока указаны на торце катушки. Перемещая датчик Холла вдоль оси катушки с интервалом 1 см, измерьте магнитную индукцию на оси катушки.
• 4. Завершите опыт, щелкнув по кнопке «Stop measurement» .
• 5. Ручку регулировки тока поверните в крайнее левое положение, понизив ток до нуля.
• 6. По формуле (9) рассчитаете теоретическое значение магнитной индукций в измеренных точках.
• 7. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу

8. В одной системе координат постройте график теоретической и экспериментальной зависимости .

Контрольные вопросы.

• 1. Назовите источники магнитного поля.
• 2. Охарактеризуйте магнитное поле кольцеобразного проводника и соленоида (катушки).
• 3. Сформулируйте закон Био — Савара — Лапласа.
• 4. Рассчитайте напряженность магнитного поля на оси витка с током.
• 5. Получите и проанализируйте формулу для расчета магнитной индукции на оси катушки.
• 6. Можно ли назвать линии напряженности магнитного поля силовыми линиями?
• 10. Объясните явление Холла. Как и для чего можно использовать данное явление?

• 1. Сивухин Д. В. Общий курс физики / Д. В. Сивухин. М.: Физматлит, 2009. — Т. 3.
• 2. Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм / А. Н. Матвеев. М.: Лань, 2010.
• 3. Калашников С. Г. Электричество / С. Г. Калашников. М.: Физматлит, 2008.
• 4. Савельев И. В. Курс физики / И. В. Савельев. М.: КноРус, 2012. — Т. 2.