Уравнения потенциального движения

Потенциальным течением будем называть течение, при котором проекции массовой скорости на оси ортогональной системы координат будут являться производными некоторой функции по направлениям данных осей.

Фильтрационное течение в горных породах подчиняется закону Дарси и, следовательно, потенциально. Потенциалом поля скоростей в данном случае является функция.

. (2.5).

Равенство (2.5) можно переписать в виде.

(2.6).

или, учитывая закон Дарси,.

. (2.7).

Здесь u — вектор массовой скорости фильтрации; grad — градиент потенциала, направленный в сторону быстрейшего возрастания ,.

;

(a) — декартовые координаты; (b) — сферические координаты; (c) — цилиндрические координаты; i, j, k, e, e, er, ez — единичные векторы по осям координат x, y, z, ,, r и z (цилиндрическая система).

Уравнение (2.7) — это закон Дарси, записанный для потенциального течения.

Подставляя (2.7)в (2.1), получаем.

(2.8).

а для установившегося течения.

. (2.9).

Уравнения (2.8) и (2.9) называют уравнениями Лапласа относительно функции, а оператор оператором Лапласа.

Уравнение Лапласа имеет два практически важных свойства:

сумма частных решений является также решением уравнения Лапласа;

произведение частного решения на константу — также решение.

Данные свойства приводят к принципу суперпозиции — сложения фильтрационных течений.

В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид.

.

где (a) — декартовые координаты; (b) — сферические координаты; (c) — цилиндрические координаты.