Скорость фильтрации. 
Законы фильтрации

Пористая среда.

Скорость фильтрации. При исследовании фильтрационных течений удобно отвлечься от размеров пор и их формы, допустив, что флюид движется сплошной средой, заполняя весь объём пористой среды, включая пространство, занятое скелетом породы.

Предположим, что через поверхность F пористой среды протекает объёмный расход флюида.

Q=w Fп, (1.21).

где w — действительная средняя скорость жидкости; Fп — площадь пор.

Площадь пор связана с полной поверхностью через просветность (соотношение 1.2), а для неупорядочных (изотропных) сред справедливо допущение о равенстве просветности пористости. Следовательно,.

Q=w m F, (1.22).

Величина.

u= w m (1.23).

называется скоростью фильтрации и определяет переток флюида, осреднённый по площади. Так как m<1, то и скорость фильтрации всегда меньше средней.

Физический смысл введения скорости фильтрации заключается в том, что при этом рассматривается некоторый фиктивный поток, в котором расход через любое сечение равен реальному расходу, поля давлений фиктивного и реального потоков идентичны, а сила сопротивления фиктивного потока равна реальной. Предполагается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по объёму и связана со средней действительной скоростью течения равенством (1.23).

Закон Дарси (линейный закон фильтрации).

Рис. 1.6. Схема наклонного пласта

В 1856 г. французским инженером Дарси был установлен основной закон фильтрации — закон Дарси или линейный закон фильтрации, устанавливающий линейную связь между потерей напора Н1-Н2 и объёмным расходом жидкости Q, текущей в трубке с площадью поперечного сечения F, заполненной пористой средой (рис. 1.6). Напор для несжимаемой жидкости имеет вид.

.

где zвысота положения; р/ - пьезометрическая высота; - объёмный вес; u — скорость движения жидкости.

Так как при фильтрации скорость обычно мала, то под напором понимается величина.

.

Закон Дарси имеет вид.

(1.24).

где с — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом фильтрации и имеющий размерность скорости.

Закон Дарси показывает, что между потерей напора и расходом существует линейная связь.

Запишем закон Дарси в дифференциальной форме, учитывая соотношение u=Q/F,.

(1.25).

или в векторной форме.

(1.26).

где s — расстояние вдоль оси криволинейной трубки тока.

Коэффициент фильтрации с характеризует среду и жидкость одновременно, т. е. зависит от размера частиц, от их формы и степени шероховатости, пористости среды, вязкости жидкости. Этот коэффициент обычно используется в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью — водой. При наличии различных жидкостей, что чаще бывает в подземной гидромеханике, использовать его неудобно. Поэтому закон Дарси записывается обычно в несколько ином виде.

(1.27).

(1.28).

где — коэффициент динамической вязкости; k — коэффициент проницаемости, характеризующий среду; р= H — приведённое давление, равное истинному при z=0.

Из сравнения (1.25) и (1.28) имеем.

. (1.29).

Границы применимости закона Дарси Закон Дарси справедлив при соблюдении следующих условий:

пористая среда мелкозерниста и поровые каналы достаточно узки;

скорость фильтрации и градиент давления малы;

с) изменение скорости фильтрации и градиента давления малы.

При повышении скорости движения жидкости закон Дарси нарушается из-за увеличения потерь давления на эффекты, связанные с инерционными силами: образование вихрей, зон срыва потока с поверхности частиц, гидравлический удар о частицы и т. д. Это так называемая верхняя граница. Закон Дарси может нарушаться и при очень малых скоростях фильтрации в процессе начала движения жидкости из-за проявления неньютоновских реологических свойств жидкости и её взаимодействия с твёрдым скелетом пористой среды. Это нижняя граница.

Верхняя граница. Критерием верхней границы справедливости закона Дарси обычно служит сопоставление числа Рейнольдса Re=wa/ с его критическим значением Reкр, после которого линейная связь между потерей напора и расходом нарушается. В выражении для числа Re: wхарактерная скорость течения: а — характерный геометрический размер пористой среды; - плотность жидкости. Имеется ряд представлений чисел Рейнольдса, полученных различными авторами при том или ином обосновании характерных параметров. Приведём некоторые из данных зависимостей наиболее употребляемые в подземной гидромеханике:

а) Павловского.

(1.30).

Критическое число Рейнольдса Reкр=7,5- 9.

б) Щелкачёва.

(1.31).

Критическое число Рейнольдса Reкр=1−12.

в) Миллионщикова.

(1.32).

Критическое число Рейнольдса Reкр=0,022- 0,29.

Скорость фильтрации uкр, при которой нарушается закон Дарси, называется критической скоростью фильтрации. Нарушение скорости фильтрации не означает перехода от ламинарного движения к турбулентному, а вызвано тем, что силы инерции, возникающие в жидкости за счёт извилистости каналов и изменения площади сечения, становятся при u>uкр соизмеримы с силами трения.

При обработке экспериментальных данных для определения критической скорости пользуются безразмерным параметром Дарси.

(1.33).

представляющим отношение сил вязкого трения к силе давления. В области действия закона Дарси данный параметр равен 1 и уменьшается при превышении числа Re критического значения.

Нижняя граница. При очень малых скоростях с ростом градиента давления изменение скорости фильтрации не подчиняется закону Дарси. Данное явление объясняется тем, что при малых скоростях становится существенным силовое взаимодействие между твердым скелетом и жидкостью за счет образования аномальных, неньютоновских систем, например, устойчивые коллоидные растворы в виде студнеобразных плёнок, перекрывающих поры и разрушающихся при некотором градиенте давления н, называемого начальным и зависящим от доли глинистого материала и величины остаточной водонасыщенности. Имеется много реологических моделей неньютоновских жидкостей, наиболее простой из них является модель с предельным градиентом.

. (1.34).

Законы фильтрации при Re > Reкр От точности используемого закона фильтрации зависит достоверность данных исследования скважин и определение параметров пласта. В связи с этим, в области нарушения действия закона Дарси необходимо введение более общих, нелинейных законов фильтрации. Данные законы разделяются на одночленные и двухчленные.

Одночленные законы описываются степенной зависимостью вида.

(1.35).

где C, n — постоянные, 1 n 2.

Данные зависимости неудобны, так как параметр n в общем случае зависит от скорости фильтрации. В связи с этим, наибольшее употребление нашли двучленные зависимости, дающие плавный переход от закона Дарси к квадратичному, называемому формулой Краснопольского:

(1.36).

Коэффициенты, А и В определяются либо экспериментально, либо теоретически. В последнем случае.

(1.37).

где — структурный коэффициент и по Минскому определяется выражением.

(1.38).