Моделирование систем с одной степенью свободы

1. Задача. Имеется физическая система с одной степенью свободы, состоящая из инерционного элемента массой, упругого элемента жесткостью и диссипативного элемента с коэффициентом сопротивления. Определить отклик системы, а также ее первую и вторую производные на внешнее воздействие.

если известны начальные условия.

2. Теория. Из второго закона Ньютона следует линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

Процессы, происходящие в последовательном колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности, на который подано напряжение, описываются уравнением.

где — заряд, проходящий по цепи,.

— сила тока. При этом реализуется электромеханическая аналогия «сила-напряжение». В параллельном колебательном контуре, состоящем из резистора, конденсатора и катушки индуктивности, соединенных параллельно и подключенных к источнику тока.

.

происходят процессы, описываемые уравнением:

где — напряжение на резисторе, емкости и индуктивности, — производная силы тока по времени. При этом реализуется электромеханическая аналогия «сила-ток» .

Итак, неоднородное диффуравнение второго порядка описывает широкий класс задач, изучаемых в школьном и вузовском курсе физики: движение связанного с пружиной тела в вязкой среде под действием произвольной силы, протекание тока через последовательно или параллельно соединенные резистор, конденсатор и катушку индуктивности, подключенные к источнику ЭДС или источнику тока .

Характер движения механической системы зависит от действующей на нее внешней силы. При этом могут быть рассмотрены следующие ситуации:

• · внешняя сила отсутствует;
• · внешняя сила постоянна;
• · внешняя сила изменяется по гармоническому закону;
• · внешняя сила изменяется по произвольному периодическому закону;
• · внешняя сила изменяется по произвольному непериодическому закону.

Кроме того, физические явления, возникающие в системе, зависят от ее параметров и начальных условий, к которым относятся координата и скорость в начальный момент времени.

3. Алгоритм. Дифференциальное уравнение второго порядка может быть решено методом конечных разностей Эйлера. Он состоит в том, что бесконечно малые приращения функции и ее первых двух производных.

заменяются конечными разностями, а бесконечно малые приращения — малыми, но конечными приращениями Сначала, исходя из параметров системы, ее координаты и скорости в момент времени, рассчитывается ее координата и скорость в следующий момент.

Затем это состояние рассматривается как исходное, и процедура расчета повторяется для момента времени и так далее. Одновременно с вычислениями строятся графики.

Рассмотрим алгоритм численного решения уравнения.

1. Задают параметры физической системы зависимость внешнего воздействия от времени, а также начальные условия и шаг по времени.

2. Начало цикла по Дают приращение по времени: переменной присваивают значение.

3. Определяют ускорение, скорость и координату тела в момент.

4. Результаты вычислений выводят на экран в числовом виде либо строят соответствующие точки на координатной плоскости.

• 5. Возвращение к операции 2. Если цикл по закончился, — выход из цикла.
• 4. Компьютерная программа. При запуске программа рисует графики зависимостей координаты

проекции скорости.

и проекции ускорения.

.

Некоторые строчки программы заключены в скобки «(*» и «*)». Убрав скобки и активизировав соответствующие операторы, можно промоделировать различные явления.

program PROGRAMMA2;

uses dos, crt, graph;

Const Fm=10;w=5;m=2;r=0;k=0;

Mx=20; Mv=40; Ma=8; Mf=2; Mt=100;

dt=0.6;

Var x, v, a, F, t: Real;

j, xx, vv, aa, FF, tt, Gd, Gm: Integer;

BEGIN.

Gd:= Detect;

InitGraph (Gd, Gm, 'c:pgi');

if GraphResultgrOk then Halt (1);

t:=0; v:=0; x:=-3;

line (30,300,650,300);

line (31,500,31,10);

OutTextXY (50,20,'X, V, A');

Repeat.

begin {Задание функции F=F (t)}.

t:=t+dt; (* F:=Fm*sin (w*t); *).

(*If sin (w*t)<0 then F:=0;

If sin (w*t)>0 then F:=Fm;*).

F:=0; If t<1 then F:= Fm;

If t>3 then F:=-Fm;

a:=(F-r*v-k*x)/m; x:=x+v*dt; v:=v+a*dt; tt:=round (t*Mt);

xx:=round (x*Mx); vv:=round (v*Mv); aa:=round (a*Ma); FF:=round (F*Mf);

circle (30+tt, 300-xx, 1); circle (30+tt, 300-vv, 1); circle (30+tt, 300-aa, 2);

end;

until KeyPressed;

CloseGraph;

END.

• 5. Задания для студентов.
• 1. На точку массы действует скачкообразно изменяющаяся сила

Если Если Если.

Исследуйте движение точки, проанализируйте получившиеся графики зависимостей.

2. Промоделируйте движение материальной точки, движущейся в вязкой среде под действием постоянной силы, направленной вдоль оси.

:

при начальных условиях.

Проанализируйте получающиеся графики. Докажите, что время подъема камня, брошенного вертикально вверх, меньше времени спуска.

• 3. Создайте модель переходного процесса в цепи, содержащей резистор и катушку индуктивности подключенные к источнику постоянного напряжения, при условии, что. Исследуйте аналогичный переходный процесс в цепи, содержащей последовательно соединенные резистор и конденсатор.
• 4. Изучите движение колебательной системы в случае слабого затухания, когда

.

Убедитесь в том, что ускорение изменяется в противофазе с координатой, а скорость опережает координату на причем амплитуды колебаний уменьшаются по экспоненте. Проведите серию вычислительных экспериментов при различных начальных условиях системы.

5. Промоделируйте движение осциллятора в случае сильного затухания при.

Убедитесь, что в этом случае движение будет апериодическим.

6. Исследуйте затухающие колебания тела, связанного с горизонтально расположенными пружинами и скользящего по поверхности стола, считая, что максимальная сила трения покоя равна силе трения скольжения.

7. Промоделируйте работу сглаживающегофильтра при подаче на него пульсирующего напряжения, получающегося в результате однополупериодного выпрямления. Для этого необходимо задать следующие параметры колебательной системы кг, Нс/м, Н/м, рад и закон изменения вынуждающей силы:

Если.

Если Где.

— период колебаний. Убедитесь в том, что с ростом индуктивности уменьшается коэффициент пульсаций тока и напряжения на резисторе. Изучите зависимость амплитуды пульсаций от индуктивности, сопротивления нагрузки и частоты импульсов.

8. Изучите работу интегрирующей цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора и конденсатора, с которого снимается выходное напряжение. Видно, что при подаче на цепь прямоугольных импульсов.

Если Если.

заряд конденсатора, а значит и напряжение на нем, возрастает пропорционально интегралу от входного напряжения.

Так как в программе осуществляется деление на (аналог индуктивности), то значение этого параметра должно быть очень малым, но не равным нулю.

9. Промоделируйте движение тела в вязкой среде (), на которое в момент времени начинает действовать внешняя гармоническая сила.

Эта ситуация соответствует переходному процессу, происходящему при подключении активно-индуктивной нагрузки к источнику переменного напряжения. При переходный ток стремится к принужденному току, изменяющемуся с той же частотой, что и приложенная ЭДС и отстающему от нее на некоторую фазу.

10. Создайте программу, моделирующую процессы, происходящие в колебательной системе в случае, если на нее действует периодически изменяющаяся сила, частота которой пропорциональна времени:

.

где Значения и подберите так, чтобы резонансная частота колебательной системы находилась в середине рабочего диапазона частот. На рисунке показан получающийся график зависимости.

.

Так как частота колебаний прямопропорциональна времени, то огибающая графика является амплитудо-частотной характеристикой колебательной системы, и называется резонансной кривой.