Параметры вращения цилиндров

Задача 1

Испытываемая жидкость заливается в кольцевую щель на высоту h между цилиндрами, А и В (см. рис. 1). Для вращения цилиндра В относительно цилиндра, А с частотой n нему должен быть приложен момент М. пренебрегая моментом трения в опорах, определить динамический и кинематический коэффициенты вязкости жидкости с плотностью с. При расчете принять d >> D-d, где D и d — диаметры цилиндров.

Рис. 1

Решение Возникает момент сопротивления:

dM_тр = ,

где =; S — площадь цилиндра. S= р· d·h.

По закону Ньютона (для внутреннего трения):

dF_тр = .

Приближенно находим

=.

где V_нар. — скорость наружного цилиндра диаметра d; V_внутр.= 0 — скорость внутреннего цилиндра диаметра D.

V_нар. = 2 р· n·.

Получаем численно:

= = .

Получаем для нашего случая, сила трения действующая на внутренний цилиндр:

F_тр = з· ·S.

Вращающий момент силы трения:

M_тр = F_тр· .

Получаем,

M_тр = з· · р· d·h·.

При установившимся движении М = M_тр:

М = з· · р· d·h·.

Находим динамический коэффициент вязкости:

з = ,

з == = 4,610 Па· с.

Находим кинематическую вязкость жидкости (кинематический коэффициент вязкости жидкости):

д = = = 6,40· 10^-3 .

Ответ: динамический коэффициент вязкости — з = 4,978 Па· с; кинематический коэффициент вязкости д = 6,40· 10^-3 .

Задача 2

Определить разность давлений в точках, А и В, заполненных водой резервуаров (см. рис. 2), если известны показания ртутного дифманометра Д h= 20 см и расстояние между точками Н =0,7 м. Плотность воды с_в = 1000 кг/м³; ртути с_рт = 13,544· 10³ кг/м³.

вращение цилиндр вязкость давление Рис. 2

Решение Давление на уровне ОО можем определить так:

Р_о = Р_А + с_Вg (Н + Дх + Дh),

Р_о = Р_А + с_В· g·Дх +с_рт· g·Дh).

Получаем из полученных выражений:

Р_А + с_Вg (Н + Дh)+ с_В· g·Дх = с_В· g·Дх+ с_рт· g·Дh+Р_А — Р_В = с_рт· g·Дh — с_Вg (Н + Дh) = 13,544· 10³ кг/м³ · 9,8 м/с² · 0,2 м — 1000 кг/м³· 9,8 м/с² · 0,9 м = 17 726,24 Па.

Ответ: разность давлений между точками, А и В составляет 17 726,24 Па.

Задача 3

Прямоугольное отверстие высотой h = 300 мм и шириной b = 800 мм в вертикальной стенке заполненного водой закрытого резервуара закрыто щитком, вращающимся вокруг горизонтальной оси О (см. рис. 3). Щит прижимается грузом, подвешенным на рычаге длиной r = 1000 мм. Определить минимальный вес груза и построить эпюру давлений на щит, если известны глубина погружения нижней кромки отверстия под водой Н = 1000 мм, расстояние от верхней кромки отверстия до оси вращающегося щита а= 90 мм и показание пружинного манометра с_о = 1,1· 10⁴ Па. Весом рычага и трением в опоре пренебречь. Плотность воды с_в = 1000 кг/м³. момент инерции прямоугольника относительно центральной оси определяется по формуле J = b· h³/12.

Рис. 3

Решение Манометр показывает избыточное давление по отношению к атмосферному.

Сила давления суммарная, действующая на щит с внутренней стороны щита равна:

F = [P_o + с· g (H-)]· b·h.

Находим ее приложение (давление рассчитываем для центра тяжести т. площадки). Сила давления не приложена в центре тяжести площадки, т. е. в точке А.

Сила давления в точке В, где АВ = J/b· h·H_A;

Н_А = = + (H-).

Находим минимальный подвешенный груз, чтобы щит не раскрылся:

Q · Г? F· (a+ + АВ).

Q_min = = =

==

= 3898,69 H

Ответ: минимальный вес груза 3898,69 Н, эпюра давлений на щит показана на рис. 3.

Задача 4

Открытый вертикальный цилиндрический сосуд (рис. 4) радиусом R = 1,2 м с жидкостью равномерно вращается вокруг вертикальной оси со скоростью щ = 80 об/мин. Определить высоту жидкости h_o после остановки сосуда и глубину воронок h₂, если известна высота жидкости h₁ = 1,5 м.

Рис. 4

Решение Скорость вращения:

щ = = 8,37 с^-1.

Высота параболоида (глубина воронки):

h₂ = = = 5,1 м.

Объем параболоида вращения равен:

V_пар = р· R²· .

Высота покоящейся жидкости:

h_o = h₁ — =1,5 — = 1,05 м.

Ответ: высота жидкости после остановки сосуда h_o = 1,05 м.

Задача 5

Вода вытекает из резервуара, в котором поддерживается постоянный уровень, через трубопровод при атмосферном давлении в конце трубопровода. Пренебрегая сопротивлениями, определить уровень в резервуаре, расход воды Q и построить напорную и пьезометрическую линию, если известны показания ртутного дифференциального пьезометра h, диаметры трубопроводов D₁ = 200 мм, D₂ =190 мм, d = 150 мм, плотность ртути и воды соответственно с_рт = 13,5 · 10³ кг/м³; с_в = 1000 кг/м³. Атмосферное давление Р_а = 10⁵ Па.

Рис. 5

Решение Давление статическое в сечении трубки диаметром D₁:

P₁ = P_a + сgH — .

Давление статическое в сечении трубки диаметром d:

P = P_a + сgH — .

Используя дифференциальный пьезометр, находим:

P₁ — P = (с_рт — с_в) gh,

т.е. = (с_рт — с_в) gh (1)

при выходе из трубы имеем:

P_a + сgH — = P_a (2)

Исходя из неразрывности струи, имеем:

= = .

После сокращения получаем:

= d²· V = (3).

На основании выражения (3), можем записать:

= d²· V.

V₁ = .

Подставляем полученное выражение в выражение (1), получаем:

V²-= .

V= = = 71,67 м/с.

Находим расход воды:

Q = = = 0,81 240 м³/с = 81,24 л/с.

Находим высоту столба воды Н в резервуаре:

сgH =

gH =; H =. (атмосферное давление не учитывается).

Из уравнения (3), имеем:

V₂ = .

Получаем:

Н = = = 130,48 м.

Ответ: высота воды в резервуаре Н = 130,48 м; расход воды Q = 81,24 л.

Задача 6

В водопроводной сети имеется участок АВ с тремя параллельными ветвями (см. рис. 6). Определить потерю напора h на этом участке и расходы ветвей Q₁, Q₂, и Q ₃, если расход магистрали Q = 110 л/с, диаметры и длины участков D₁ = 275 мм; D₂ = 175 мм; D₃ = 200 мм; l₁ = 500 м; l₂ = 1100 м; l₃ = 1300 м. Трубы нормальные.

Рис. 6

Решение В соответствии с уравнением неразрывности потока расход жидкости по данному трубопроводу будет:

Q = Q₁ + Q₂ + Q₃ (1)

Рассчитаем потери напора в каждом трубопроводе:

Н_пот.1 = б₁· Q, где Q₁ = ,

Н_пот.2 = б₁· Q, где Q₂ =, (3)

Н_пот.3 = б₁· Q, где Q₃ = .

Потери напора в любом из простых трубопроводов, а также общие потери напора в рассматриваемом сложном трубопроводе будут равны разности полных напоров в сечениях, А иВ:

Н_А — Н_В = Н_пот.1 = Н_пот.2 = Н_пот.2 = Н_пот. (4).

Подставляем в выражение (1) выражение (3) получаем:

Q = = = =. (5)

Поскольку местными сопротивлениями можно пренебречь, сопротивления отдельных простых трубопроводов могут быть найдены по одной из формул:

А = А_дл· l; a= .

Из формулы (5) имеем:

Н_пот = .

Из таблицы для нормальных труб, имеем:

D₁ = 275 мм; 0,613 м⁶/с.

D₂ = 175 мм; 0,212 м⁶/с.

D₃ = 200 мм; 0,116 м⁶/с.

Находим потери напора по формуле (5):

а₁= = = 815,66

а₂= = = 5188,67

а₁= = = 11 206,89

Н_пот = = 6,032

Q₁ = = 0,085 м³/с = 85 л/с.

Q₂ = = 0,0340 м³/с = 34 л/с.

Q₃ = = 0,0231 м³/с = 23,1 л/с.

Q₁ + Q₂ + Q₃ = 0,14 м³/с = 142,1 л/с.

Ответ: потеря напора на участке АВ составляет 6,032 м. рт. столба, а расходы Q₁ = 85 л, Q₂ = 34 л/с; Q₃ = 23,1 л/с.

Задача 7

Вода под давлением P_o подводится по трубе диаметром d_c = 13 мм, в котором происходит увеличение скорости и понижение давления (см. рис. 7). Затем в диффузоре поток расширяется до диаметра d= 50 мм. Вода выходит в атмосферу на высоте Н₂ = 1,3 м и поднимается из нижнего резервуара на высоту Н₁ = 2,5 м. определить минимальное давление Р_о перед эжектором с учетом потерь напора в сопле (о_с = 0,06), диффузоре (о_диф = 0,25), коленах (о_к = 0,25).

Рис. 7

Решение Запишем уравнение Бернулли (перед соплом и на выходе):

1) Р_о + = Р_а + +сg (H₁ + H₂) +(0,06+2· 0,25) .

Давление в струе после сопла будет:

2) Р_с Р_а — сgH_1.

Запишем уравнение Бернулли (перед соплом и после сопла в сечениях):

3) Р_о + = Р_а — сgH₁ + +0,06.

Уравнение неразрывности струи:

4) =; d²V = V_c; V_c = · V.

Численная связь V_c = · V.

Решаем систему:

Из уравнения (1) отнимаем уравнение (3) и находим

0=+ сg (2H₁ + H₂) + - с· .

· - = g (2H₁ + H₂).

V² = = = 0,56 м²/с².

Из первого уравнения имеем:

Р₀ Р_а + сg (H₁ + H₂) + = Р_а + 1000· 9,81 (2,5+1,3) + = Р_а + 37 434,8 Па.

Ответ: минимальное давление перед инжектором P_o = P_a + 37 434,8 Па.

1. Р. Р. Чугуев. Гидравлика. М., 1991 г.

2. В. Г. Гейер, В. С. Дулин, А. П. Заря. Гидравлика и гидропривод. М. «Недра», 1991 г.

3. К. Г. Асатур. Гидравлика, конспект лекций, Л., ЛГИ., ч. 1 и 2.