Основы механики

Дано

Найти: закон движения груза D на участке ВС Решение

1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы и .

Проводим ось ВZ и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось.

или

Проекция силы N на ось z равна 0

Далее находим R_z=R=0,5v² Q_z=Q= 16 H

Принимая g=10 м/сек и деля части равенства на m и подставляя известные значения величин находим После преобразований и разделения переменных проинтегрируем правую и левую части равенства Учитывая начальные условия (v=v₀ и z=0) найдем постоянную С₁

Тогда полученное равенство примет вид

=> =>

И подставляя все известные значения (v=v₀ = 10 м/сек, и z = l = 4 м) получаем То есть скорость груза D в конце участка АВ будет равна v_B =11,6 м/сек.

2. Теперь рассмотрим движение груза на участке ВС. Найденная скорость v_B будет для движения на этом участке начальной скоростью v₀ = v_B =11,6 м/сек. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие yа него силы P, N и F_x. Проведем из точки В ось Вх и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось. Так как проекции сил N и Р на ось х равны 0, то

или, деля на m правую и левую части и учитывая что F_x= 6t²

Разделяя переменные и интегрируя части равенства найдем Будем теперь отсчитывать время от момента когда груз находился в точке В, считая в этот момент t₀ = 0. Тогда при t = t₀ = 0 v_х = v₀ =v_B = 11,6 м/сек, и

C₂ = v₀ = 11,6 Тогда формула скорости примет вид Умножая обе части на dt и снова интегрируя, найдем закон движения груза на участке ВС так как при t = 0 х = 0 то С₃ = 0 и окончательно искомый закон движения груза будет иметь вид

где х — в метрах, а t — в секундах

Ответ:

Дано

Найти: N₁ — полную силу нормального давления плиты на направляющие в момент времени t₁ = 1 сек.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и груза D, и изобразим действующие на нее внешние силы Р₁, Р₂ и реакцию N.

Для определения N₁ воспользуемся теоремой о движении центра масс системы и составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось Y.

или где m — масса системы Р₁=m₁g Р₂=m₂g вес плиты и груза соответственно.

Из формулы определяющей ординату у_С центра масс системы, следует что для рассматриваемой системы где, как видно из рисунка

y_C1=h а

Вычисляя производные и учитывая, что h=const получим Подставив это значение в найдем зависимость N от t и из нее, полагая t = t₁ найдем N₁

Ответ: N₁= 324 Н

Дано

Найти: v_C3 — скорость центра масс катка.

1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из тел 2,3,4 и 5 соединенных нитями. Изобразим все действующие на систему силы: активные F, P₂, P₃ P₄ момент сопротивления М₅, реакции N₂, N₃ N₄ N₅ и силы трения F₂тр и F₃тр.

Для определения v_C3 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы

(1)

2. Определим Т₀ и Т. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т₀=0. Величина Т равна сумме всех тел системы Т=Т₂+Т₃+Т₄

где

Все входящие сюда скорости следует выразить через v_C3. Приняв во внимание, что точка К₃ — мгновенный центр скоростей катка и, обозначив радиус катка через r₃, получим

(2)

3. Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при том перемещении, которое будет иметь система когда точка С₁ пройдет путь s₁. Одновременно все перемещения следует выразить через заданную величину s₁

Работа остальных сил равна 0, так как т. К₃, где приложены силы N₃ и F_тр3, — мгновенный центр скоростей, точки приложения сил N₄, N₅ и Р₄ неподвижны, а реакция N₂ перпендикулярна перемещению груза 2.

(3)

4. Подставляя (2) и (3) в (1) и учитывая, что Т₀=0 получим Ответ: v_C3=5,14 м/сек

Дано

Найти: реакции подпятника и подшипника.

Для определения искомых реакций применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом оси AХУ так, чтобы стержни лежали в плоскости ХУ и изобразим действующие на систему внешние силы — силы тяжести Р₁ и Р₂ составляющие Х_А и Y_A реакции подпятника и реакцию Х_Е подшипника.

Согласно принципу Даламбера присоединим к этим силам силы инерции элементов стержня 2 и груза, считая груз материальной точкой. Так как вал вращается равномерно то имеются только нормальные ускорения а_nk направленные к оси вращения, численно равные а_nk=²h_k где h_k — расстояние элемента от оси. Тогда силы инерции F_k^и будут направлены от оси вращения и численно равны

где m — масса элемента.

Поскольку все F_k^и пропорциональны h_k, то эпюра этих параллельных сил образует треугольник и их можно заменить равнодействующей R₂^и, линия действия которой проходит через центр тяжести этого треугольника т. е. на расстоянии Н₂^R от вершины В, где Н₂^R = 2/3 Н₂ а Н₂=l₂cos 75. Но равнодействующая любой системы сил равна ее главному вектору, а численно главный вектор сил инерции стержня Аналогично для силы инерции груза найдем Так как все действующие силы и силы инерции лежат в плоскости ХУ то и реакции опор также будут лежать в этой плоскости.

Согласно принципу Даламбера все внешние силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составляя для этой плоской системы сил 3 уравнения равновесия, получим:

Подставив сюда все числовые значения всех заданных и вычисленных величин и решив данную систему уравнений найдем искомые реакции.

Ответ: X_A=?173 H, Y_А= 98,1 Н Х_Е = ?150,8 Н Дано

Найти: угловое ускорение шкива 1 ₁

1) Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол поворота шкива .

Составим уравнение Лагранжа

(1)

2) Определим кинетическую энергию Т системы, равную сумме энергий всех тел.

Т=Т₁+Т₄+Т₅ (2)

Так как груз 4 движется поступательно, шкив 1 вращательно, а каток 5 плоскопараллельно, то где, поскольку масса шкива распределена равномерно по ободу, а каток сплошной (его радиус обозначим r₅)

3) Все скорости входящие в Т_1, Т₄ и Т₅ выразим через обобщенную координату равную очевидно ₁. Если учесть при этом, что, а и что точка катка К является для катка 5 мгновенным центром скоростей, то получим груз кинетический подшипник лагранж Подставляя значения величин в указанные выше формулы, а затем значения Т_1,Т₄ и Т₅ в равенство (2), найдем окончательно, что Так как здесь T зависит только от то

и (3)

4) Найдем обобщенную силу Q. Для этого изобразим силы, совершающие при движении системы работу., т. е. силы P₁, P₄ и Р₅ и момент сил М₁, направленный против вращения шкива. Затем сообщим системе возможное перемещение, при котором обобщенная координата получит положительное приращение и покажем перемещения каждого из тел: для груза 4 это будет перемещение S₄, для шкива 1 — поворот на ₁, для катка 5 — перемещение S₅ его центра. После чего вычислим сумму элементарных работ и момента сил на данных перемещениях. Получим Все входящие сюда перемещения выражаем через

Коэффициент при в полученном выражении и будет обобщенной силой Q. Следовательно

Q = 1,14RP (4)

5) Подставляя найденные величины (3) и (4) в (1) получим

откуда

Ответ: ₁ = 4,27 сек^-2