Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях

Задание K2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях

Дано:

x=c₂t²+c₁t+c₀,

R₂=40см,

r₂=25 см,

R₃=20 см,

x₀=9 см,

V₀=8 см/с,

x₂=65 см,

t₁=1с,

t₂=2с.

c₁-? c₂-? c₃-?

V-? a-? -?

-? V_M-?

Уравнение груза 1 имеет вид: (1)

x=c₂t²+c₁t+c₀.

Коэффициенты c₂, c₁, c₀ могут быть определены из следующих условий:

При t=0c x=9 =V₀=8; (2)

При t=2c x=65. (3)

Скорость груза 1

V == 2c₂t+c₁ (4)

Подставляя (2) и (3) в (1) и (4) получим систему уравнений, из которой найдем коэффициенты

c₂, c₁, c₀

Таким образом, уравнение движения груза 1 имеет вид:

x= 10 t²+8t+9. (5)

Скорость груза 1:

V ==20t+8

При t=1c V=28см/c. (6)

Ускорение груза 1:

a=20см/с².

Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза V и угловые скорости колес и .

откуда имеем:

(7)

Т.к. V =20t+8, то

;

При t=1c =2,24рад/с.

Угловое ускорение колеса 3:

Скорость точки М, ее вращательное, центростремительное и полное ускорения определяются по формулам:

V_М=см/с.

см/с².

см/с²

см/с²

Задание:

Найти скорость 1 тела в конце отрезка s.

Дано:

кг

кг

кг м

м

м

м

Решение:

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы

(т.к. система состоит из абсолютно твёрдых тел)

T₀=0(т.к. в начальный момент времени система покоилась) Определим кинетическую энергию системы в конечный момент времени

Определим работу сил в конечный момент времени

A

A

Определим скорость в конечный момент времени

(м/с)

Ответ: м/с

К4. Кинематический анализ многозвенного механизма

Дано:

=2рад/с.

=

a=50см

b=30см

O₁A=14см

O₂B=29см

AB=45см

BC=54см

CD=34см

DE=37см

Найти:

1) скорости точек А, В, С и D механизма и угловые скорости всех его звеньев с помощью плана скоростей;

2) скорости точек А, В, С и D механизма и угловые скорости всех его звеньев с помощью мгновенных центров скоростей;

3) ускорения точек, А и В и угловое ускорение звена АВ;

4) положение мгновенного центра ускорений звена АВ;

5) ускорение точки М, делящей звено АВ пополам.

Определние скоростей точек и угловых ускорений звеньев с помощью плана скоростей.

Определяем скорости точек.

Строим схему механизма в выбранном масштабе (рис1). Вычисляем модуль скорости точки, А кривошипа О₁А:

=м/с.

Вектор перпендикулярен О₁А и направлен в сторону вращения кривошипа.

Строим план скоростей. Из произвольно выбранного полюса О проводим луч Оа, изображающий в выбранном масштабе скорость точки А.

Для определения скорости точки В через

полюс О проводим прямую, параллельную

скорости, через точку апрямую,

перпендикулярную АВ. Получаем точку b;

отрезок Оbопределяет скорость точки В.

Измеряем длину луча Оb и, пользуясь масштабом скоростей, находим =13см/с

Продолжая построение плана скоростей, находим, ,

=13 см/с.

=13 см/с.

=5,3 см/с.

Определяем угловые скорости звеньев механизма.

Отрезок ab плана скоростей выражает вращательную скорость точки В вокруг точки А:

ab=;

отсюда угловая скорость звена АВ

=ab/AB=14,5/45=0,32 рад/с

Аналогично определяются угловые скорости звеньев ВС и ED:

=bc/BC=0/54=0

=ed/ED=14/37=0,38 рад/с

Угловая скорость звена О₂В определяется по вращательной скорости точки В вокруг неподвижного центра О₂.

=13/29=0,45 рад/с

Определение скоростей точек и угловых ускорений звеньев с помощью мгновенных центров скоростей.

а) Определяем положения мгновенных центров скоростей звеньев механизма.

Строим схему в выбранном масштабе (рис3)

Звенья О₁А, O₂B вращаются вокруг неподвижных центров О₁ и О₂.

Рис3

Мгновенный центр скоростей Р_АВ звена АВ находится на как точка пересечения перпендикуляров, проведенных из точек, А и В к их скоростям. Аналогично определяется положение мгновенного центра скоростей Р_DE. Мгновенный центр скоростей звена АВ находится в бесконечности.

Б) Определяем скорости точек. Скорости точек звеньев механизма пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенных центров скоростей соответствующих звеньев. Эти расстояния измеряются на чертеже.

Для определения скорости точки В звена АВ имеем пропорции

АР_АВ/ВР_АВ.

Следовательно ,

ВР_АВ/АР_АВ.

см/с.

Т.к. мгновенный центр скоростей звена ВС находится в бесконечности, то

Для определения скорости точки Е звена ED имеем пропорции

ЕР_ED/DP_ED.

Следовательно,

DP_ED/EP_ED.

см/с.

Одновременно с определением модулей скоростей точек находим их направления, а также направления вращений звеньев механизма. Например, по направлению скорости точки, А и положению мгновенного центра скоростей Р_АВ устанавливаем, что вращение звена АВ происходит по часовой стрелке. Поэтому скорость точки В при данном положении механизма направлена влево.

Аналогично определяем направления вращений остальных звеньев и направления скоростей точек механизма.

в) Определяем угловые скорости звеньев механизма

Скорость любой точки звена равна произведению угловой скорости этого звена на расстояние от точки до мгновенного центра скоростей:

АР_АВ.

АР_АВ.

28/64=0,43 рад/с.

Угловая скорость звена О₂В определяется по скорости точки В:

13,1/29=0,45 рад/с.

Угловая скорость звена ВС равна нулю, т.к. мгновенный центр скоростей звена ВС находится в бесконечности:

Аналогично вычисляем угловую скорость звена ED:

EP_ED.

5,4/14=0,38 рад/с.

3. Определение ускорений точек A и B и угловое ускорение звена АВ.

Определяем и .

С помощью теоремы об ускорениях точек плоской фигуры определяем ускорение точки В:

.

Т.к. кривошип О₁А вращается равномерно, то ускорение точки, А направлено к центру О₁ и равно см/с².

Центростремительное ускорение точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса, А направлено от точки В к точке, А и равно

0,43=19,43 см/с².

Откладываем от точки В в соответствующем масштабе ускорение полюса. Из конца вектора строим вектор, проводя его параллельно ВА. Через конец вектора проводим прямую JK, перпендикулярную ВА, т. е. параллельную вращательному ускорению. Однако определить ускорение этим построением невозможно, т.к. его направление неизвестно.

Чтобы найти ускорение точки В, необходимо выполнить второе построение, рассматривая эту точку как принадлежащую О₂В. В этом случае Центростремительное ускорение точки В:

см/с².

Откладываем от точки В вектор, направив его к центру О₂. Через конец вектора проводим прямую LN перпендикулярно О₂В, т. е. параллельно вращательному ускорению .

Точка пересечения этой прямой с JK определяет концы векторов ,

Измерением на чертеже получаем

80 см/с².

49 см/с².

Т.к. =АВ, то угловое ускорение звена АВ

/АВ=49/45=1,09 рад/с².

4)Определение положения мгновенного центра ускорений звена АВ.

Примем точку, А за полюс. Тогда ускорение точки В Строим параллелограмм ускорений при точке В по диагонали и стороне. Сторона параллелограмма выражает ускорение точки В во вращении АВ вокруг полюса А. Ускорение составляет с отрезком АВ угол, который можно измерить на чертеже.

Направление вектора относительно полюса, А позволяет определить направление, в данном случае соответствующее направлению часовой стрелки Отложив угол от векторов и в этом направлении и проводя два луча, найдем точку их пересечения — мгновенный центр ускорений звена АВ.

5) Определение ускорения точки М.

Найдем ускорение точки М с помощью МЦУ.

Ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра ускорений:

_.

Подставив расстояния, определенные по чертежу

К7. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

Дано:

OM=Sr (t)=25sin (t/3);

4c

a=25см

v-?

a-?

Положение точки М на теле D определяется расстоянием Sr=ОМ.

При 4c Sr=25 sin (4/3)= -21,65 см.

Абсолютную скорость точки М найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей:

Модуль относительной скорости, где dSr/dt=25cos (t/3) /3

При t=4c -13,08см/с.

13,08см/с.

Отрицательный знак у показывает, что вектор направлен в сторону убывания Sr.

Модуль переносной скорости =, где

— радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М,

— модуль угловой скорости тела.

Найдем .

Рассмотрим прямоугольный треугольник .

АМ=ОА-ОМ.

АМ=25−21,65=3,35 см.

=25см.

По теореме Пифагора имеем:

=25,22 см.

Найдем .

где

=d/dt =4t-0,5

При t=4c =15,5рад/с.

Знак «+» у величины показывает, что вращение тела D происходит в ту же сторону, в которую ведется отсчет угла .

Тогда модуль переносной скорости

==390,91 см/с.

Модуль абсолютной скорости v найдем способом проекций.

Через точку М проводим оси X и Y.

Из треугольника :

=AM/

=3,35/25,22=0,13

Тогда

1,704 см/с

403,86см/с.

Значит v =

403,86см/с.

Абсолютное ускорение точки М равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.

где в свою очередь Относительное движение.

Это движение происходит по закону Sr (t)=25sin (t/3);

Модуль относительного касательного ускорения ,

где =d²Sr/dt=

При t=4c 23,72см/с².

23,72см/с².

Модуль относительного центростремительного ускорения =0, т.к. радиус кривизны относительной траектории стремится к бесконечности.

Переносное движение.

Это движение происходит по закону

Модуль переносного вращательного ускорения, где

= - модуль углового ускорения тела D

d²/dt²=4рад/с²

Знаки у и одинаковые. Значит вращение тела D ускоренное.

Тогда см/с²

Модуль переносного центростремительного ускорения

=6059,1 см/с².

Кориолисово ускорение.

Модуль кориолисова ускорения определяем по формуле

где

— угол между вектором и осью вращения (вектором).

В нашем случае =, т.к. ось вращения перпендикулярна плоскости вращения тела D.

Тогда 12 118,21 см/с².

Направление вектора найдем по правилу Н. Е. Жуковского: т.к. вектор лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на в направлении, т. е. против хода часовой стрелки.

Модуль абсолютной скорости v найдем способом проекций.

Через точку М проводим оси X и Y.

=100,88+23,72−6059=-663,3см/с².

18 174,22см/с².

=18 186,32см/с².

Ответ: 13,08см/с =390,91 см/с. 403,86см/с.

23,72 см/с², см/с², =6059,1 см/с², 12 118,21 см/с², =18 186,32