Евклидова геометрия и ее обоснование по аксиоматике Вейля

Евклидова геометрия и ее обоснование по аксиоматике Вейля

Геометрия возникла в древнем Вавилоне и Египте. Первые геометрические знания носили практический характер и были связаны с измерением площадей земельных участков, сравнение отрезков и измерение поверхностей и объемов фигур.

В 7 в. до н.э. развитие геометрии перешло в древнюю Грецию. Греки, которые узнали о геометрии от египтян, назвали геометрию «геометрией» (землемерие). Отцом греческой геометрии является Фалес. Фалесу приписывают открытие доказательств свойств углов при основании равнобедренного треугольника, свойств вертикальных углов, теоремы Фалеса и некоторых других теорем. Далее: Пифагор (VI-V в до н.э.), Демокрит (V-IV в до н.э.), Платон (IV-III в до н. э).

Все эти ученые имели свои математические школы. Известно, что воспитанники школы Пифагора открыли теорему о сумме углов треугольника, доказательство теоремы Пифагора, существование пяти типов правильных многогранников.

Платон рекомендовал своим ученикам, прежде чем заниматься философией изучить геометрию. Демокрит открыл теоремы об объемах пирамиды и конуса. Евдокс (V-IV в до н. э) создал теорию пропорций, заменившей грекам теорию иррациональных чисел, которых греки не знали. Ученик Евдокса — Менехм открыл конические сечения, которые затем обстоятельно изучил Апполоний. Аристотель (IV-III в до н. э) — основатель формальной логики, сформулировал правила вывода.

Таким, образом, к началу III в. до н. э. греки имели большой запас геометрических фактов и методы их доказательства. Возникла задача собрать этот геометрический материал и расположить его в логическом порядке. Такую задачу пытались решать многие греческие авторы (Гиппокрит, Федий и др.), но их сочинения не дошли до нашего времени и были забыты после появления «Начал» Евклида.

Евклид (III в до н. э) — воспитанник школы Платона, преподавал математику в Александрии. Написанные им «Начала» дают систематическое изложение основ геометрии того времени. Евклид применил в «Началах» аксиоматический метод. «Начала» состоят из 13 книг (глав). Книги I-IV и VI посвящены планиметрии, XI-XIIIстереометрии, а остальные содержат элементы теории чисел и геометрически изложенной арифметики.

Каждая книга «Начал» начинается с определения тех понятий, которые впервые появляются в этой книге. Первая книга начинается с 23 определений. Приведем некоторые из них.

• 1. Точка есть то, что не имеет частей.
• 2. Линия есть длина без ширины.
• 3. Концы линии — точки.
• 4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.
• 5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
• 6. Границы поверхности — линии.
• 7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по

отношению ко всем лежащим на ней прямым.

Последнее определение в первой книге связано с параллельными прямыми. После определений идут постулаты (5) и аксиомы, их — 9.

Постулаты Евклида.

I. Требуется, чтобы от всякой точки до всякой другой точки можно было провести прямую линию.

II. И чтобы каждую прямую можно было непрерывно продолжать по прямой.

III. Из любого центра можно описать окружность любого радиуса.

IV. Все прямые углы равны между собой.

V. Если прямая, падающая на две прямые образует внутренние по одну сторону углы, сумма которых меньше двух прямых, то при неограниченном продолжении эти прямые пересекаются с той стороны, где эта сумма меньше двух прямых.

Далее идут аксиомы, их — 9. Вот некоторые из них.

• 1. Равные порознь третьему равны между собой.
• 2. Если к равным прибавить равные, то получим равные.
• 3. Если от равных отнять равные, то и остатки равны.
• 4. Если к неравным прибавляются равные, то целые будут неравны.
• 5. Удвоенные одного и того же равны между собой.
• 6. И совмещающиеся равны.

Далее идут теоремы, которые Евклид доказывает строго логическим путем на основании постулатов, аксиом и предыдущих теорем.

Евклид первым поставил задачу обоснования геометрии, т. е. перечисление определений и аксиом, на основе которых можно развивать геометрию строго логическим путем. В этом историческая заслуга Евклида перед наукой. «Начала» служили образцом научного изложения на протяжении 2000 лет. Со времен Евклида все учили геометрию по его «Началам». Школьные учебники практически до последнего времени представляли, по существу, популярное изложение «Начал».

Но с точки зрения современной математики «Начала» Евклида имеют и недостатки.

Евклид определяет все понятия, нет неопределенных понятий. Ни одно из определений 1−5 не используется в доказательстве теорем. Список предложений, принятых без доказательства (постулатов и аксиом) является неполным. Так, например, нет аксиом, определяющих понятие «лежать между». Равенство фигур Евклид определяет через движение (7 аксиома), однако, аксиом движения нет, нет также аксиом непрерывности.

Система аксиом Евклида не является независимой. Например, IV постулат можно доказать как теорему Возникновение аксиоматического метода связано с именем Пифагора (V в. до н.э.), но впервые аксиоматический метод успешно применил Евклид в своей книге «Начала» в III в. до н.э. «Начала» построены следующим образом: сначала даются основные понятия и перечисляются основные допущения — постулаты и аксиомы, затем идут предложения (теоремы), которые Евклид стремился доказать по правилам логики на основании принятых постулатов и аксиом.

Аксиоматический метод используется не только как метод построения теории, но и как метод исследования, он применяется не только в математике, но и в других разделах естествознания. В своем развитии аксиоматический метод прошел три этапа: первый этап связан с Евклидом (III в. до н.э.); второй этап связан с открытием теории множеств Г. Кантором и геометрии Лобачевского (XIX в.); третий этап связан с возникновением символического исчисления (XX в.).Всякая аксиоматическая теория строится по следующей схеме:

• 1. Перечисляются основные понятия: основные образы и основные отношения — отправные понятия, принимаемые без определения.
• 2. Дается список аксиом — исходных предложений теории, принимаемых без доказательства, в которых выражены некоторые свойства основных понятий.
• 3. Все другие продолжения теории доказываются чисто логическим путем с помощью аксиом и ранее доказанных теорем.
• 4. Все понятия, не являющиеся основными, определяются через основные и ранее введенные понятия.

В 1918 году известным математиком Г. Вейлем было предложено так называемое «векторное» обоснование евклидовой геометрии. В качестве вспомогательной структуры он использует евклидово векторное пространство, элементы которого играют роль операторов в пространстве точек.

Герман Клаус Хуго Вейль (9.11.1885 — 9.12.1955) — немецкий математик и физик, член Национальной Академии Наук США, Американский академик искусств и наук. В 1908 году окончил Гёттингенский университет, где получил степень доктора философии. Учителем Вейля был Д.Гильберт. В 1908;1913 и 1930;1933 работал там же, в 1913;1930 профессор Цюрихского технологического института, в 1933;1955; Принстонского института перспективных исследований (США).

Первые работы посвящены теории тригонометрических рядов, рядам по ортогональным функциям и почти периодическим функциям, теории дифференциальных и интегральных уравнений (в частности, создал спектральную теорию дифференциальных операторов), а также теории функций комплексного переменного. В последней он заложил основы тех её направлений, которые опираются на понятие римановой поверхности. В теории чисел известны суммы Вейля, имеющие большое значение в аддитивной теории чисел (особенно для работ И.М.Виноградова). Одновременно с Э. Ж. Картаном исследовал теорию непрерывных групп, применение которым нашел в дифференциальной геометрии, физике и теории относительности. Одновременно с Я. А. Схоутеном обобщил понятие риманова пространства на случай пространства аффинной и конформной связности. Ввёл понятие аффинной связности, играющей важную роль в дифференциальной геометрии и физике. Поставил (1915) проблему реализации в трёхмерном евклидовом пространстве регулярной метрики положительной кривизны, заданной на сфере. С помощью методов групп теории получил некоторые результаты, относящиеся к теории атомных спектров. Разработал (1924) теорию представлений групп преобразований. Исследовал (1927) значение теории групп для развития квантовой механики. В области философии математики он примкнул к направлению интуиционизма. Ему принадлежит суждение о наступлении нового кризиса в математике. Попытка Вейля разработать единую теорию поля потерпела неудачу.

Размерность векторного пространства определяет размерность точеного пространства. Аксиоматика Вейля переводит теорию евклидова (точечного) пространства на язык линейной алгебры.

Простота аксиоматики, её пригодность для обоснования геометрии многомерных пространств, алгоритмизация теории на основе линейной алгебры сделали аксиоматику Вейля наиболее употребительной в современной геометрии и её приложениях. Использование векторных пространств позволяют построит «в духе Вейля» аксиоматики неевклидовых пространств, придав тем самым известное единообразие обоснованию различных геометрий.

В качестве основных неопределяемых понятий и отношений геометрии в аксиоматике Вейля принимаются: вектор, точка, сумма векторов, произведение вектора на действительное число, скалярное произведение векторов и откладывание вектора от точки. Прямые, плоскости, равенство фигур и т. п. определяются через эти первоначальные понятия и отношения.

Известны разные варианты аксиоматики Вейля. Рассмотрим один из них. пирамида конус аксиоматический векторный Пусть V — n-мерное евклидово векторное пространство и Енепустое множество, элементы которого А, В, С,… будем называть точками. Пусть на множестве Е задано отображение: ЕЕV.

Обозначим вектор (A, B)= и назовем его переносом, переводящим точку, А в точку В. Потребуем что бы отображение обладало свойствами:

I.Для любой фиксированной точки АE отображение: E по закону:

(В)=, является биекцией.

II. ,+=.

Тогда множество Е называется n-мерным евклидовым пространством, а векторное пространство V — его пространством переносов. Свойства I, II отображения называются аксиомами Вейля.

Отображение каждой паре точек (А, В) ставит в соответствие вектор = из V. Если первую точку, А пары зафиксируем, а вторая точка В будет пробегать все множество Е, то получим отображение: E. Аксиома I требует чтобы полученное отображение было биективным отображением Е на V. Требование аксиомы I можно истолковать как требование биективности соответствия между точками В и радиус-векторами этих точек при фиксированном начале А.

Требование аксиомы II означает следующее. Если вектор переводит точку, А в точку В =), а вектор переводит точку В в точку С (c=), то вектор + должен переводить точку в точку.

С (+=).

Таким образом, в определении структуры евклидова пространства по Вейлю векторы играют роль операторов на множестве точек: (A)=B =, аналогично роли чисел в определении структуры векторного пространства.

Если в определении структуры евклидова пространства не требовать евклидовости его пространства переносов (то есть не вводить отображение g, обладающее свойствами 9)-11), то мы получим определение n-мерного аффинного пространства. Поэтому евклидово пространство можно рассматривать как обогащенную структуру аффинного пространства: в пространстве переносов V аффинного пространства вводится новое отношение — скалярное умножение или положительно определенная квадратичная форма (называемая метрической формой евклидова пространства). Это новое отношение позволяет определить в Е новые понятия, о которых не может идти речь в аффинном пространстве: «расстояние между точками», «движение» (преобразование пространства Е, сохраняющее расстояния) и др.

В аксиоматике Вейля основное отношение каждой паре точек (А, В) E сопоставляет вектор. В силу аксиомы I каждой паре (,) сопоставляется единственная точка В= и, значит, возникает отображение. Это позволяет придать аксиоматике Вейля иной вид.

В качестве основного отношения задают отображение и обозначают Операцию, сопоставляющую точке, А и вектору точку =В, называют «откладыванием вектора от точки А».

В этом случае аксиомы Вейля — свойства отображения — формулируют следующим образом:

. B,.

то есть существует и единственный вектор, который переводит заданную точку, А в любую заданную точку B.

. .

Существование отображения здесь обеспечивается аксиомой .

При таком подходе особо подчеркивается роль векторов как операторов на множестве точек. Этот подход хорошо сочетается с истолкованием вектора как параллельного переноса в школьном курсе геометрии. Напротив, первый из указанных вариантов аксиоматики Вейля, в котором вектор связывается с парой точек, более подходит к такому изложению школьного курса геометрии, в котором вектор выступает как направленный отрезок или класс эквивалентных направленных отрезков.

Множество V называется (действительным) векторным пространством, а его элементы, ,, … — векторами, если на нем заданы:

а)внутренний закон композиции (алгебраическая операция) f: VVV, который мs назовем сложение и обозначим f (,)=+, обладающий свойствами:

) +) + = + +).

для любых трёх векторов, , ;

) + = +.

для любых двух векторов, ;

) Существует такой вектор что = для любого вектора (вектор называется нулевым вектором);

) Для любого вектора найдется такой вектор, что += (вектор называется вектором, противоположным вектору, и обозначается через -);

б)Внешний закон композиции (внешняя алгебраическая операция),.

h: RVV, который мы назовем умножение вектора на число и обозначим h ()= (, обладающий свойствами:

) 1=.

для любого вектора ;

) () = ().

для любого вектора и любых (действительных) чисел.

) (+)=+.

для любого вектора и любых (действительных) чисел, .

) +)= +.

для любых двух векторов, и любого действительного числа .

Свойства 1)-8) законов сложения и умножения на число называются аксиомами векторного пространства. Векторное пространство называется также линейным пространством.

Заметим, что в определении структуры векторного пространства числа выступают в роли операторов, действующих в V по закону:)=.

Векторы ,…, называются линейно независимыми, если равенство = выполняется только в том случае, когда все числа Если же указанное равенство выполняется в том случае, когда некоторые из отличны от нуля, то векторы ,…, называются линейно независимыми.

Векторное пространство V называют n-мерным и пишут dimV=n, если в V существуют n линейно независимых векторов и всякие n+1 векторов из М линейно зависимы. Эти условия составляют аксиому размерности векторного пространства V. Если dimV=n, то любые n линейно независимых векторов ,…, из V составляют базис этого векторного пространства. Из аксиомы размерности следует, что всякий вектор разлагается и притом однозначно по векторам базиса: =++…+ ()/ Числа называются координатами вектора относительно базиса ,…,.

Евклидовым векторным пространством называется векторное пространство V, на котором определено отображение g: VVR, которое мы назовем скалярным умножением векторов и обозначим g ()=, обладающее свойствами:

)=.

для любых двух векторов и.

) +)=+.

для любых трёх векторов, , и любых (действительных) чисел, ;

)0 для любого вектора ,.

Число называют скалярным произведением векторов, а число — скалярным квадратом вектора и обозначают .

Аксиомы 1)-4) векторного пространства определяют на множестве V структура абелевой группы.

Введение

нового отношения (умножения вектора на число) придает абелевой группе новые свойства: появляется возможность говорить о линейно зависимых и линейно независимых векторах, о линейной оболочке системы векторов, о размерности векторного пространства и др. Поэтому говорят, что векторное пространство получено обогащением структуры абелевой группы. В свою очередь, евклидово векторное пространство получено обогащением структуры векторного пространства: в нем введено новое отношениескалярное умножение, позволяющее говорить о длине вектора, об ортогональности векторов (=0) и др.

Отображение g: VVR, обладающее свойствами 9)-11), является симметрической билинейной положительной формой, определенной на векторном пространстве V. Она определяет положительную квадратичную форму по закону, для .

Обратно, по квадратичной форме, заданной на V, можно восстановить билинейную форму по формуле.

=()—).

Значит, векторное пространство М можно превратить в евклидово векторное пространство, задав на М положительно определенную (симметрическую) квадратичную форму.