Основные виды линейных интегральных уравнений

Под интегральным уравнением понимается уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком определенного интеграла.

Приведем некоторые наиболее часто встречающиеся типы интегральных уравнений. Уравнение вида где (ядро) и — известные функции, называется интегральным уравнением Фредгольма первого рода.

Уравнение вида где — числовой параметр, носит название интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Параметр вводится по следующим соображениям: при данном значении интегральное уравнение (2) не всегда имеет решения. Варьируя параметр, можно добиться того, чтобы решение уравнения (2) существовало. Параметр можно также ввести в левую часть уравнения Фредгольма первого рода (1).

Если в (2), то получается однородное уравнение допускающее нулевое (тривиальное) решение. Те значения параметра, при которых однородное интегральное уравнение (3) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями (собственными числами) ядра или соответствующего уравнения (2), а отвечающие им ненулевые решения — собственными функциями. Основной результат теории следующий (теорема Фредгольма).

• 1) если не есть собственное значение ядра, то соответствующее неоднородное интегральное уравнение Фредгольма (2) с регулярным ядром и непрерывным свободным членом имеет единственное непрерывное решение ;
• 2) если же есть собственное значение, то уравнение (2) или не имеет решений, или же допускает бесчисленное множество их.

Симметрическое ядро обладает следующими свойствами:

• 1) для всякого симметрического ядра существует по меньшей мере одно собственное значение; интегральный уравнение математический
• 2) все собственные значения симметрического ядра действительны;
• 3) собственные функции и симметрического ядра, соответствующие различным собственным значениям и, ортогональны между собой на основном промежутке, т. е.

Также встречаются интегральные уравнения вида И.

которые носят названия интегральных уравнений Вольтерра соответственно первого и второго рода. Вводя функцию уравнения Вольтерра (4) и (5) можно записать в виде соответствующих уравнений Фредгольма с ядром. Таким образом, теория уравнений Вольтерра сводится к теории уравнений Фредгольма; однако в некоторых случаях уравнения Вольтерра полезно изучать независимо.

Примером уравнения Вольтерра первого рода является обобщенное уравнение Абеля где — известная непрерывно дифференцируемая функция. Решение уравнения (6) дается формулой в чем можно убедиться непосредственно.

Заметим, что если ядро и — непрерывно дифференцируемые функции, причем при, то уравнение Вольтерра первого рода (4) сводится к уравнению Вольтерра второго рода (5). Действительно, дифференцируя уравнение (4) по будем иметь Отсюда.