Парный регрессионный и корреляционный анализ

Контрольная работа 2

по дисциплине «Эконометрика»

ТЕМА: ПАРНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Имеются данные по 14 субъектам Уральского и Западно-Сибирского региона о денежных доходах и потребительских расходах на душу населения за 2004 г., которые приведены в следующей таблице:

№ п/п	Субъект Российской Федерации	Денежные доходы (тыс. руб.)	Потребительские расходы (тыс. руб.)
	Республика Башкортостан	26,5	18,7
	Удмуртская республика	28,6	21,4
	Курганская область	22,2	16,0
	Оренбургская область	26,0	18,3
	Пермская область	35,1	25,5
	Свердловская область	33,4	24,2
	Челябинская область	29,5	20,4
	Республика Алтай	25,4	16,8
	Алтайский край	20,3	15,5
	Кемеровская область	36,2	24,9
	Новосибирская область	28,9	24,2
	Омская область	30,7	25,1
	Томская область	33,0	22,0
	Тюменская область	62,6	30,3

На основе имеющихся данных требуется:

1. Построить поле рассеяния и на основе его визуального анализа выдвинуть гипотезу о виде зависимости потребительских расходов от денежных доходов в Уральском и Западно-Сибирском регионах; записать эту гипотезу в виде математической модели.

2. Методом наименьших квадратов найти точечные оценки параметров, если регрессионная модель: а) линейная; б) логарифмическая; в) степенная;

г) показательная.

3. Вычислить среднюю относительную ошибку аппроксимации

для моделей а) — г) п. 2 и с ее помощью выбрать наилучшую модель. Дальнейший анализ проводить с выбранной моделью.

4. Найти интервальные оценки для параметров выбранной модели и проверить их значимость при доверительной вероятности г.

5. Построить доверительные полосы для уравнения регрессии и модели при доверительной вероятности г и представить их графически.

6. Вычислить коэффициенты корреляции и детерминации между денежными доходами и потребительскими расходами; проверить значимость корреляции между ними с вероятностью г.

7. Провести дисперсионный анализ рассматриваемой модели: определить долю вариации потребительских расходов, объясняемую уравнением регрессии, и долю вариации потребительских расходов, объясняемую случайными причинами.

8. При помощи критерия Фишера проверить адекватность выбранной модели имеющимся данным с доверительной вероятностью г.

9. Дать с вероятностью г точечный и интервальный прогноз для среднего и ожидаемого значений потребительских расходов в наудачу выбранном субъекте РФ в 2006 г., если ожидается, что денежные доходы в этом субъекте РФ увеличатся на 30% по сравнению со средним значением в 2004 г.

10. Проверить выполнение основных предположений регрессионного и корреляционного анализа относительно «возмущений» модели с доверительной вероятностью г:

а) постоянство дисперсии;

б) некоррелированность;

в) нормальность распределения.

Внимание! При выполнении задания общие данные следует заменить своими конкретными.

Решение

аппроксимация уравнение регрессия вероятность

1.График:

Гипотеза: зависимость между доходами и расходами прямо пропорциональная, т. е. чем больше человек получает, тем больше тратит. На графике точки поля рассеяния наиболее близки к графику некоторой прямой y=ax+b, но линия тренда также похожа и на другие графики функций.

Модели:

Me=0

Y=aX+b+e

Или

др. (см 2б, 2 В, 2 г и 2д)

2. Нахождение точечных оценок параметров

а) линейная регрессионная модель

Y=aX+b+e

y=ax+b

y*=a*x+b*

a*	0,285 315
b*	13,72 454

y*=0.285x+13.725

Y=0.285X+13.725+e

№	x	y	y*	|(y-y*)/y|
	28,500	21,650	21,856	0,010
	30,600	22,050	22,455	0,018
	24,200	21,250	20,629	0,029
	28,300	21,950	21,799	0,007
	37,100	24,450	24,310	0,006
	35,400	23,150	23,825	0,029
	31,500	22,950	22,712	0,010
	27,400	20,950	21,542	0,028
	22,300	19,650	20,087	0,022
	38,200	24,250	24,624	0,015
	30,900	22,950	22,541	0,018
	32,700	23,750	23,054	0,029
	35,000	24,150	23,711	0,018
	64,600	32,150	32,156	0,000
Итого	466,700	325,300	325,300	0,241

б) логарифмическая

Y=aLnX+b+e

X"=LnX

Y=aX"+b+e

a*	11,24 036
b*	— 15,8085

y*=11.248lnx-15.808

Y=11.248lnX-15.808+e

№	x	y	x"	x" y	x" 2	y*	|(y-y*)/y|
	28,500	21,650	3,350	72,525	11,222	21,846	0,009
	30,600	22,050	3,421	75,433	11,703	22,645	0,027
	24,200	21,250	3,186	67,710	10,153	20,007	0,058
	28,300	21,950	3,343	73,376	11,175	21,766	0,008
	37,100	24,450	3,614	88,353	13,058	24,810	0,015
	35,400	23,150	3,567	82,569	12,721	24,283	0,049
	31,500	22,950	3,450	79,177	11,902	22,971	0,001
	27,400	20,950	3,311	69,356	10,960	21,403	0,022
	22,300	19,650	3,105	61,005	9,638	19,088	0,029
	38,200	24,250	3,643	88,339	13,270	25,138	0,037
	30,900	22,950	3,431	78,736	11,770	22,754	0,009
	32,700	23,750	3,487	82,825	12,162	23,391	0,015
	35,000	24,150	3,555	85,862	12,640	24,155	0,000
	64,600	32,150	4,168	134,008	17,374	31,044	0,034
Итого	466,700	325,300	48,630	1139,274	169,750	325,300	0,312

в) гиперболическая

Y=a/X+b+e

X'=1/X

Y=aX'+b+e

a	— 379,226
b	35,31 371

Y=35.314−379.226/X+e

№	x	y	x'	x’y	x'2	y*	|(y-y*)/y|
	28,500	21,650	0,035	0,760	0,001	22,008	0,017
	30,600	22,050	0,033	0,721	0,001	22,921	0,039
	24,200	21,250	0,041	0,878	0,002	19,643	0,076
	28,300	21,950	0,035	0,776	0,001	21,913	0,002
	37,100	24,450	0,027	0,659	0,001	25,092	0,026
	35,400	23,150	0,028	0,654	0,001	24,601	0,063
	31,500	22,950	0,032	0,729	0,001	23,275	0,014
	27,400	20,950	0,036	0,765	0,001	21,473	0,025
	22,300	19,650	0,045	0,881	0,002	18,308	0,068
	38,200	24,250	0,026	0,635	0,001	25,386	0,047
	30,900	22,950	0,032	0,743	0,001	23,041	0,004
	32,700	23,750	0,031	0,726	0,001	23,717	0,001
	35,000	24,150	0,029	0,690	0,001	24,479	0,014
	64,600	32,150	0,015	0,498	0,000	29,443	0,084
Итого	466,700	325,300	0,446	10,113	0,015	325,300	0,480

г) степенная

Y=bX^ae

lnY=lnb+alnX+lne

X"=lbX, Y"=lnY, e"=lne, b"=lnb

Y"=b"+aX"+e"

a	0,442 878
b	4,95 742
b"	1,600 886
y=4,957x0, 443

№	x	y	x"	y"	x" y"	x" 2	y*	|(y-y*)/y|
	28,500	21,650	3,350	3,075	10,301	11,222	21,856	0,010
	30,600	22,050	3,421	3,093	10,582	11,703	22,555	0,023
	24,200	21,250	3,186	3,056	9,739	10,153	20,329	0,043
	28,300	21,950	3,343	3,089	10,325	11,175	21,788	0,007
	37,100	24,450	3,614	3,197	11,551	13,058	24,564	0,005
	35,400	23,150	3,567	3,142	11,207	12,721	24,059	0,039
	31,500	22,950	3,450	3,133	10,810	11,902	22,847	0,004
	27,400	20,950	3,311	3,042	10,071	10,960	21,479	0,025
	22,300	19,650	3,105	2,978	9,246	9,638	19,606	0,002
	38,200	24,250	3,643	3,188	11,615	13,270	24,884	0,026
	30,900	22,950	3,431	3,133	10,750	11,770	22,653	0,013
	32,700	23,750	3,487	3,168	11,047	12,162	23,228	0,022
	35,000	24,150	3,555	3,184	11,321	12,640	23,938	0,009
	64,600	32,150	4,168	3,470	14,465	17,374	31,403	0,023
Итого	466,700	325,300	48,630	43,950	153,030	169,750	325,189	0,252

д) показательная

Y=ba^Xe

lnY=lnb+Xlna+lne

Y"=lnY, e"=lne, a"=lna, b"=lnb

Y"=b"+a"X+e"

№	x	y	y"	x2	xy"	y*	|(y-y*)/y|
	28,500	21,650	3,075	812,250	87,638	21,884	0,011
	30,600	22,050	3,093	936,360	94,655	22,398	0,016
	24,200	21,250	3,056	585,640	73,964	20,867	0,018
	28,300	21,950	3,089	800,890	87,412	21,836	0,005
	37,100	24,450	3,197	1376,410	118,595	24,068	0,016
	35,400	23,150	3,142	1253,160	111,227	23,620	0,020
	31,500	22,950	3,133	992,250	98,700	22,623	0,014
	27,400	20,950	3,042	750,760	83,355	21,619	0,032
	22,300	19,650	2,978	497,290	66,411	20,433	0,040
	38,200	24,250	3,188	1459,240	121,798	24,363	0,005
	30,900	22,950	3,133	954,810	96,820	22,473	0,021
	32,700	23,750	3,168	1069,290	103,580	22,925	0,035
	35,000	24,150	3,184	1225,000	111,450	23,516	0,026
	64,600	32,150	3,470	4173,160	224,189	32,627	0,015
Итого	466,700	325,300	43,950	16 886,510	1479,791	325,253	0,273

a"	0,110 629	a	1,11 124
b"	2,7 704 698	b	15,96 613
		y=15,966*1,011^x

3. Для каждой модели рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации. Минимальная=наилучшая — у логарифмической модели.

Модель	А
Линейная	1,72%
Логарифмическая	0,16%
Гиперболическая	3,43%
Степенная	0,17%
Показательная	1,95%

Y=11.248lnX-15.808+e

4. Найдем интервальные оценки параметров модели.

y*=11.248x'-15.808, x'=lnx

Sa*== 0,782

Sb*== 2,521

)=0.782*2,1788 (t0.975(12))= 1,703 807

=2.524*2,1788 (t0.975(12))= 5,492 717

=

=

Таким образом, с вероятностью 0,95 истинное значение параметра, а накрывается интервалом (9,537;12,944), а истинное значение параметра b накрывается интервалом (-21,301;-10,316).

Проверим значимость оценок a* и b* параметров a и b с надежностью 0,95.

ta*=a*/Sa*= 14,37 398

и tb*=b*/Sb*= -6,27 079

Модули ta; tb > tквант => нулевые гипотезы отвергаются, и делается вывод о значимом отличии оценок а* и b* от нуля.

Таким образом, оба коэффициента уравнения Y=11.248lnX-15.808+e

Являются статистически значимыми с надежностью 0,95.

5. Построим доверительную полосу.

Syi*=Se*

Se== 0,712 043

yiн=yi*;

yiв=yi*+

=tквант*Syi*

x"	y*	(x" -x" cp)2	(y-y*)2	(y-ycp)2	(y*-ycp)2	Sy*	y*H	y*B	dely
3,350	21,846	0,015	0,038	2,514	1,932	0,213	21,185	22,115	0,465
3,421	22,645	0,003	0,354	1,406	0,349	0,195	21,626	22,474	0,424
3,186	20,007	0,082	1,545	3,943	10,423	0,294	20,609	21,891	0,641
3,343	21,766	0,017	0,034	1,653	2,159	0,216	21,479	22,421	0,471
3,614	24,810	0,020	0,129	1,474	2,478	0,220	23,972	24,928	0,478
3,567	24,283	0,009	1,283	0,007	1,096	0,204	22,706	23,594	0,444
3,450	22,971	0,001	0,000	0,082	0,070	0,191	22,533	23,367	0,417
3,311	21,403	0,027	0,205	5,224	3,358	0,229	20,451	21,449	0,499
3,105	19,088	0,136	0,316	12,857	17,203	0,346	18,897	20,403	0,753
3,643	25,138	0,029	0,789	1,029	3,620	0,232	23,745	24,755	0,505
3,431	22,754	0,002	0,038	0,082	0,232	0,193	22,529	23,371	0,421
3,487	23,391	0,000	0,129	0,264	0,024	0,191	23,335	24,165	0,415
3,555	24,155	0,007	0,000	0,836	0,845	0,201	23,713	24,587	0,437
4,168	31,044	0,483	1,224	79,464	60,964	0,576	30,896	33,404	1,254
48,630	325,300	0,829	6,084	110,837	104,753

6. Посчитаем выборочный коэффициент парной корреляции

x"	y	xy	x2	y2
3,350	21,650	72,52 542	11,22 186	468,7225
3,421	22,050	75,43 305	11,70 324	486,2025
3,186	21,250	67,70 999	10,15 284	451,5625
3,343	21,950	73,37 582	11,17 473	481,8025
3,614	24,450	88,35 293	13,5 823	597,8025
3,567	23,150	82,56 938	12,72 143	535,9225
3,450	22,950	79,17 721	11,90 241	526,7025
3,311	20,950	69,35 588	10,9597	438,9025
3,105	19,650	61,513	9,638 458	386,1225
3,643	24,250	88,33 876	13,27 025	588,0625
3,431	22,950	78,73 585	11,77 009	526,7025
3,487	23,750	82,82 516	12,16 178	564,0625
3,555	24,150	85,86 166	12,6405	583,2225
4,168	32,150	134,0081	17,37 401	1033,623
48,630	325,300	1139,274	169,750	7669,415

rxy=(14*1139,274−48,63*325,3)/КОРЕНЬ ((14*169,75−48,63²)*(14*7669,415−325,3²))= 0,972

Значение rxy ([0.7;1)) позволяет сделать вывод о сильной зависимости.

Проверим, значительно ли отличается от 0 величина rxy.

(теоретический к. корреляции) Выдвигаем гипотезу о нулевой корреляции, т. е. об отсутствии корреляции между исследуемыми переменными:

Для проверки гипотезы рассчитаем t статистику. t=(rxy*корень (14−2))/корень (1-rxy²)= 14,329. t квант=2,1788 (t0.975(12))

tстат>tквант=> с надежностью 0,95 выборочный коэффициент парной корреляции rxy существенно отличается от нуля, и, следовательно, между переменными X и Y существует значимая зависимость, являющаяся либо логарифмической, либо близкой к логарифмической.

Вычислим коэффициент детерминации

Qy==110,837

Qy*==104,753

R²=Qy*/Qy=0,945

Таким образом, 94,5% изменения переменной Y объясняется построенным уравнением регрессии. Случайными причинами объясняется 5,5% вариации переменной Y. Коэффициент детерминации близок к 1, а значит модель обладает хорошим качеством.

7. см коэффициент детерминации в № 6.

8. При помощи критерия Фишера проверим адекватность выбранной модели имеющимся данным с доверительной вероятностью 0,95.

F=R²(n-2)/(1-R²)

F	206,611
Fквант0,95(1;12)	4,75

Уравнение регрессии адекватно исходным данным на уровне значимости 0,05.

9. Прогнозы.

Точечный прогноз:

xcp= 33.336

xp=1.3xcp= 43.337

y*p=y*(x"p)= =11.248*ln43.337−15.808=26.586

Интервальный прогноз:

x"p=lnx=3.769

Sy=0,712 043*корень (1/14+(3,769−3,474)^2)/0,829)=0,299

Delyp=0.299*2.1788=0.652

Доверительный интервал:
25,934	27.238

Таким образом, если в нескольких субъектах денежные доходы окажутся постоянными и равными 43.337, то средние потребительские расходы с вероятностью 0,95 будут накрыты данным интервалом.

Доверительный интервал для индивидуального значения:

Sy=0,712 043*корень (1+1/14+(3,769−3,474)^2)/0,829)=0.842

Delyp=0.842*2.1788=1.835

(24,751;28,421)

Таким образом, если в каком-нибудь субъекте доходы окажутся равными 43,337 тыс. руб., то траты с вероятностью 0,95 будут в давнном интервале.

А. Постоянство дисперсии

№	x	y	x"	y*	ei	ei-1	|ei|	r (x")	r (ei)	di2	(ei-ei-1)2
	28,500	21,650	3,350	21,846	— 0,196		0,196			1,000
	30,600	22,050	3,421	22,645	— 0,595	— 0,196	0,595			9,000	0,159
	24,200	21,250	3,186	20,007	1,243	— 0,595	1,243			144,000	3,376
	28,300	21,950	3,343	21,766	0,184	1,243	0,184			25,000	1,122
	37,100	24,450	3,614	24,810	— 0,360	0,184	0,360			49,000	0,295
	35,400	23,150	3,567	24,283	— 1,133	— 0,360	1,133			100,000	0,597
	31,500	22,950	3,450	22,971	— 0,021	— 1,133	0,021			1,000	1,237
	27,400	20,950	3,311	21,403	— 0,453	— 0,021	0,453			1,000	0,187
	22,300	19,650	3,105	19,088	0,562	— 0,453	0,562			121,000	1,030
	38,200	24,250	3,643	25,138	— 0,888	0,562	0,888			121,000	2,103
	30,900	22,950	3,431	22,754	0,196	— 0,888	0,196			9,000	1,175
	32,700	23,750	3,487	23,391	0,359	0,196	0,359			4,000	0,027
	35,000	24,150	3,555	24,155	— 0,005	0,359	0,005			4,000	0,133
	64,600	32,150	4,168	31,044	1,106	— 0,005	1,106			1,000	1,235
Итого	466,700	325,300	48,630	325,300						590,000	12,676

Rxe спирм=1−6*590/(14*(14*14−1))=-0,3

tстат=-0,3*корень (12)/корень (1-(-0,3)^2)=-1.09

tстат принимаем гипотезу об отсутствии гетероскедастичности, а, следовательно, принимается и нулевая гипотеза о постоянстве дисперсии возмущений. (на уровне значимости 0,05)

Б. Некоррелированность

d== 12.676/6.084=2.083- статистика ДарбинаУотсона

dн=1.158; dв=1.391

(0;1,158)

(1.158;1.391)

(1,391;4−1,391=2,609) автокорреляция отсутствует на уровне значимости 0,05 (найденная статистика Д-У попадает в данный интервал)

(2,609;2,842)

(2,842; 4)

В. Нормальность распределения

ei	(ei-ecp)^2	(ei-ecp)^3	(ei-ecp)^4
— 0,196	0,038	— 0,007	0,001
— 0,595	0,354	— 0,210	0,125
1,243	1,545	1,920	2,386
0,184	0,034	0,006	0,001
— 0,360	0,129	— 0,047	0,017
— 1,133	1,283	— 1,453	1,645
— 0,021	0,000	0,000	0,000
— 0,453	0,205	— 0,093	0,042
0,562	0,316	0,177	0,100
— 0,888	0,789	— 0,701	0,622
0,196	0,038	0,007	0,001
0,359	0,129	0,046	0,017
— 0,005	0,000	0,000	0,000
1,106	1,224	1,354	1,498
0,000	6,084	1,000	6,456
0,000
m2	0,434 576
m3	0,714 357
m4	0,4 611 382
b1	0,249 354
b2	— 0,5 582 597
sigma (b1)	0,6 076 436
sigma (b2)	0,7 812 033

u0,95=23.7

Нулевая гипотеза принимается на уровне значимости 0,05, удовлетворяющем неравенствам 2(1−0,95)

0,249/0,608<23.7 и |(-0.558+6/15)/0.781|<23.7.

Поскольку оба неравенства выполнены, то гипотеза о нормальном законе распределения «возмущения» модели принимается на уровне значимости 0.1