Многие задачи с экономическим содержанием имеют достаточно простые математические модели, выражаемые линейными, квадратными уравнениями или их системами. Основная сложность, возникающая при решении такого рода задач — построение самой математической модели — выбор неизвестной и запись условия задачи в формализованном иде. От того, насколько удачно выбрана неизвестная величина, зависит трудоемкость, а в некоторых случаях и возможность решения задачи. На рассмотренных ниже примерах проиллюстрировано как составление математических моделей, так и методика решения получаемых алгебраических уравнений и их систем.
Примеры решения задач Предприниматель взял в аренду на 4 года помещение на условиях ежегодной платы (в конце года) А руб.
Имея некоторый первоначальный капитал, он удвоил его в течение года и оплатил аренду. Оставшийся капитал он опять удвоил в течение второго года и оплатил аренду. Такая схема деятельности осуществлялась все четыре года. В результате, в конце четвертого года деятельности, после оплаты аренды предприниматель имел капитал, в четыре раза превышающий первоначальный. Постройте экономико-математическую модель накопления капитала у предпринимателя и проведите ее анализ. Определите величину первоначального капитала, если аренда, А составляла 16 000 руб. процент линейный алгебраический уравнение.
Решение. Обозначая через х первоначальный капитал предпринимателя, можно записать условие задачи в следующем виде:
- 2х — А — капитал после первого года деятельности;
- 2(2х — А) — А = 4х — 3А — после второго года;
- 2(4х — 3А) — А = 8х — 7А — после третьего года;
- 2(8х — 7А) — А = 16х — 15А — после четвертого года.
Таким образом, накопление капитала K происходило по линейному закону относительно его первоначальной величины х: K = 16х — 15А.
Накопление имеет место, если K > 0, т. е. 16х — 15А > 0, или А.
По условию задачи K = 4х, т. е. имеет место уравнение.
16х — 15А = 4х или 12х — 15А = 0.
Таким образом, первоначальный капитал предпринимателя составил х=А =1,25А, т. е. превосходил арендную плату в 1,25 раза.
При, А = 16 000 руб.
х = 1,25 ?16 000 = 20 000 руб.
процент линейный алгебраический уравнение.
