Статистические оценки параметров одномерных и двумерных совокупностей

,

.

и доверительный интервал:

7. Так как (- случай малых выборок), то можно применить способ, когда для математического ожидания нормального распределения с неизвестной дисперсией доверительный интервал строится с помощью случайной величины.

где t имеет распределение Стьюдента.

Если рассматривать вычисленное выборочное стандартное отклонение как оценку стандартного отклонения, то по таблице Приложения 2 определим.

.

откуда получаем.

Границами доверительного интервала будут:

и доверительный интервал — .

• 8. Так как < ПДК= 60, то ПДК не превышена.
• 2. Статистические оценки параметров двумерных совокупностей. Линейная регрессия

ЗАДАНИЕ 2.

Провести обработку экспериментальных данных, заданных двумя величинами X и Y по результатам представленных в виде таблицы наблюдений.

Требуется:

1. найти несмещенные оценки математических ожиданий и ;

2. найти несмещенные оценки дисперсий и ;

• 3. найти эмпирический корреляционный момент;
• 4. найти оценку коэффициента корреляции;
• 5. проверить значимость коэффициента корреляции;
• 6. найти линейное уравнение регрессии Y на X:

;

• 7. в предположении, что приведенные данные представляют собой измерения зависимой величины y при различных значениях независимой величины x, найти доверительный интервал для линейной регрессии с доверительной вероятностью ;
• 8. построить графики линейной регрессии, доверительного интервала и отметить точки наблюдений.

Вариант № 26.

Выполнить пункты 1−8 Задания 2 для таблицы наблюдений.

номер наблюдения.	x.	y.
	— 1,8.	8,7.
	— 1,2.	7,3.
	— 0,6.	7,9.
		6,1.
	0,6.	6,2.
	1,2.	5,9.

с доверительной вероятностью Решение:

Из данных таблицы наблюдения для вычисления оценок числовых характеристик составим таблицу 1 и выполним вычисления:

номер наблюдения.							суммы.
xi.	— 1,8.	— 1,2.	— 0,6.		0,6.	1,2.	— 1,8.
yi.	8,7.	7,3.	7,9.	6,1.	6,2.	5,9.	42,1.
xi2.	3,24.	1,44.	0,36.		0,36.	1,44.	6,84.
yi2.	75,69.	53,29.	62,41.	37,21.	38,44.	34,81.	301,85.
xi yi.	— 15,66.	— 8,76.	— 4,74.		3,72.	7,08.	— 18,36.

По суммам в последнем столбце рассчитаем числовые характеристики:

1. Несмещенные оценки математических ожиданий и ;

2. Несмещенные оценки дисперсий и ;

3. Эмпирический корреляционный момент;

4. Оценка коэффициента корреляции;

5. Проверяя значимость коэффициента корреляции, получим.

что больше, следовательно.

6. Коэффициенты выборочного уравнения линейной регрессии.

где и.

7. Дополним табл.1.

номер наблюдения.							суммы.
xi.	— 1,8.	— 1,2.	— 0,6.		0,6.	1,2.	— 1,8.
yi.	8,7.	7,3.	7,9.	6,1.	6,2.	5,9.	42,1.
xi2.	3,24.	1,44.	0,36.		0,36.	1,44.	6,84.
yi2.	75,69.	53,29.	62,41.	37,21.	38,44.	34,81.	301,85.
xi yi.	— 15,66.	— 8,76.	— 4,74.		3,72.	7,08.	— 18,36.
8,39.	7,84.	7,30.	6,75.	6,20.	5,66.
0,097.	0,294.	0,365.	0,423.	0,000.	0,059.	1,237.
0,127.	0,097.	0,067.	0,067.	0,097.	0,127.
8,04.	7,57.	7,11.	6,56.	5,94.	5,31.
8,74.	8,11.	7,48.	6,94.	6,47.	6,01.

Заполним остальные строки таблицы 1. Остаточная дисперсия.

нижняя и верхняя границы доверительного интервала при значениях :

где =.

8. По данным таблицы 1 (см. рис.2) построены график линейной регрессии и графики доверительного интервала линейной регрессии.

3. Графический метод решения задач линейного программирования с двумя переменными ЗАДАНИЕ 3.

Вариант 26.

Графическим методом решить задачу:

L=3×1+2×2 max.

0,1×1+0,4×2? 4 (l1).

3x1+5×2? 15 (l2).

x1+x2? 1 (l3).

x2? 0,6 (l4).

при x1? 0, x2? 0.

Решение.

1. а) Занумеруем границы неравенств системы ограничений.

l1; l2; l3; l4.

• б) Cтроим полуплоскость, определяемую первым неравенством системы:
  • 0,1×1+0,4×2? 4

Строим прямую линию 0,1×1+0,4×2 = 4.

при x1 = 0×2 = 10; при x2 = 0×1 = 40.

Подставим координаты точки в уравнение 0,1*0+0,4*0? 4,.

получаем строгое неравенство 0? 4. Следовательно, точка О лежит в полуплоскости решений этого неравенства, Отмечаем эту полуплоскость с помощью стрелок на концах прямой l1 (см. Рис.3), направленных в сторону начала координат. (Прямая линия l1 изображена условно в масштабах рис.3).

• в) По двум точкам (5; 0), (0; 3) строим прямую 3×1+5×2? 15 (l2). Для определения полуплоскости неравенства 3×1+5×2? 15, проверим координаты точки О на выполнение этого неравенства. Получим строгое неравенство 3*0+5*0? 15. Следовательно, точка О лежит в полуплоскости решений неравенства. Отметим полуплоскость с помощью стрелок на концах прямой (l2), направленных к началу координат (см. Рис.3).
• г) По двум точкам (1; 0), (0; 1) строим прямую x1+x2? 1 (l3). Для определения полуплоскости неравенства x1+x2? 1, проверим координаты точки О на выполнение этого неравенства. Получим неверное неравенство 0+0? 1

Следовательно, точка О не лежит в полуплоскости решений неравенства. Отметим полуплоскость с помощью стрелок на концах прямой (l3), направленных от начала координат (см. Рис.3).

д) Полуплоскость x2? 0,6 будет ограничена прямой x2 = 0,6 и стрелки на концах прямой (l4) будут направлены от начала координат (см. Рис.3).

2. Находим общую часть всех полуплоскостей решений. Получим, что область допустимых решений представляет собой четырехугольник АВСD.

3. Построим вектор-градиент .

• 4. Построим линию уровня L0: 3×1+2×2 = 0, проходящую через начало координат перпендикулярно вектору .
• 5 Перемещаем полученную прямую линию параллельно L0 и пересечем ОДР в точке, А = l3? ось Х2, которая соответствует минимуму целевой функции. Координаты т. А определим из системы уравнений:

x1+ x2 = 1 откуда x2 = 1 Следовательно: т. (0; 1).

x1 = 0 Lmin = 3*0 + 2*1 = 2.

Аналогично, в точке D = l3? l4 находим координаты т. D из системы уравнений: x1+x2 = 1 откуда x1 = 0,4 Следовательно: т. С (0,4; 0,6).

x2 = 0,6 LD = 3*0.4 + 2*0.6 = 2,4.

В точке В = l2? ось Х2 находим координаты т. В из системы уравнений:

3x1+5×2 = 15 откуда x2 = 3 Следовательно: т. В (0; 3).

x 1 = 0 LВ = 3*0 + 2*3 = 6.

в точке C = l2? l4, которая соответствует максимуму целевой функции.

Координаты т. С определим из системы уравнений:

3x1+5×2 = 15 откуда x1 = 4 Следовательно: т. С (4; 0,6).

x2 = 0,6 Lmax = 3*4 + 2*0,6 = 13,2.

статистический одномерный регрессия интервал.

Подставляем найденное решение в уравнения системы ограничений и проверяем выполнение заданных условий:

0,1×1+0,4×2? 4 0,1*4 + 0,4*0,6 = 0,64? 4.

3x1+5×2? 15 3*4 + 5*0,6 = 15.

x1+x2? 1 4 + 0,6 = 4,6? 1.

x2? 0,6 и x1? 0, x2? 0.

Ответ: Lmax = 13,2 при хmax = (4; 0,6).