Закон распределения. 
Закон распределения

1. Обработка результатов равноточных многократных измерений Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X, среднеквадратичного отклонения Sx, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала — ±УДРд.

Исходные данные.

Цена деления прибора С, мм 0,010.

Результаты измерений, мм.

Доверительная вероятность Рд = 0,89 — показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.

Уровень значимости q = 0,05 — показывающий, что принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону.

Сортируем значения по возрастанию:

1. Построение гистограммы Определяем величину размаха R (поле рассеяния):

R = Xmax — Xmin=102,23−101,97=0,26.

Xmax = 102,23 — наибольшее из измеренных значений.

Xmin = 101,97 — наименьшее из измеренных значений.

R = Xmax — Xmin = 0,26 (мм).

Определяем число интервалов разбиения n.

Вв соответствии с рекомендациями (ближайшее нечетное число).

n ===7,2?7.

Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.

Принимаем n = 7.

Определяем ширину интервала h:

h ===0,037.

Определяем границы интервалов Xmin — Xmax.

1 интервал: Xmin1 — Xmax1.

Xmin1 = Xmin=101,97 мм.

Xmax1 = Xmin1 + h = 101,97+0,037=102,007 мм.

2 интервал: Xmin2 — Xmax2.

Xmin2 = Xmax1 = 102,007 (мм).

Xmax2 = Xmin2 + h = 102,007+0,037=102,044 (мм).

3 интервал: Xmin3 — Х max3.

Xmin3 = Xmax2 = 102,044 (мм).

Xmax3 = Xmin3 + h = 102,044+0,037=102,081 (мм).

4 интервал: Xmin4 — Xmax4.

Xmin4 = Xmax3 = 102,081 (мм).

Xmax4 = Xmin4 + h = 102,081+0,037=102,118 (мм).

5 интервал: Xmin5 — Xmax5.

Xmin5 = Xmax4 = 102,118 (мм).

Xmax5 = Xmin5 + h = 102,118+0,037?102,155(мм).

6 интервал: Xmin6 — Xmax6.

Xmin6 = Xmax5 = 102,155 (мм).

Xmax6 = Xmin6 + h = 102,155+0,037?102,192 (мм).

7 интервал: Xmin7 — Xmax7102,.

Xmin7 = Xmax6 = 102,192 (мм).

Xmax7 = Xmin7 + h = 102,192+0,037=102,229?102,23 (мм) Определяем середины интервалов Xoi.

1 интервал:

Xo1 = Xmin1 + =101,97 +=101,9885 (мм).

2 интервал:

Xo2 = Xmin2 + = 102,007+=102,0255 (мм).

3 интервал:

Xo3 = Xmin3 + = 102,044+= 102,0625 (мм).

4 интервал:

Xo4 = Xmin4 + = 102,081+= 102,0995 (мм).

5 интервал:

Xo5 = Xmin5 + = 102,118+=102,1365 (мм).

6 интервал:

Xo6 = Xmin6 + = 102,155+= 102,1735 (мм).

7 интервал:

Xo7 = Xmin7 + = 102,192+= 102,2105 (мм).

Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi.

Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси).

Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:

Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:

Рис. 1.

Рис. 2.

2. Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:

.

где Noi — теоретическая частота попадания в интервал.

Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:

ц (z) — плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;

уx — среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.

Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (уx? Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:

В данную формулу входит величина, которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:

После подстановки 102,1 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:

Sx=0,50 152? 0,05 мм Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.

Эту величину можно определить по формуле:

Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле:

Для 1 интервала:

Zo1 = -2,23 ,.

что соответствует величине ц (z) = 0,33 194.

Для 2 интервала:

Zo2 = -1,49.

что соответствует величине ц (z) = 0,131 468.

Для 3 интервала:

Zo3 = -0,75,.

что соответствует величине ц (z) = 0,301 137.

Для 4 интервала:

Zo4 = -0,0096? -0,01 ,.

что соответствует величине ц (z) = 0,398 922.

Для 5 интервала:

Zo5 = 0,7019?0,7 ,.

что соответствует величине ц (z) = 0,305 627.

Для 6 интервала:

Zo6 = 1,47,.

что соответствует величине ц (z) = 0,135 418.

Для 7 интервала:

Zo7 = 2,21,.

что соответствует величине ц (z) = 0,34 701.

Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.

Для 1 интервала:

No1 =1,277.

Для 2 интервала:

No2 = 5,059.

Для 3 интервала:

No3 =11,58.

Для 4 интервала:

No4 =15,351.

Для 5 интервала:

No5 = 11,76.

Для 6 интервала:

No6 = 5,211.

Для 7 интервала:

No7 = 1,33.

На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:

№ интервала.	Фактическая чистота.	Теоретическая чистота.
	0,057.	0,025.
	0,057.	0,097.
	0,192.	0,222.
	0,346.	0,295.
	0,230.	0,226.
	0,076.	0,100.
	0,038.	0,025.

Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра хи-квадрат:

№ интервала.	Фактическая чистота.	Теоретич. Чистота.
	0,057.	0,025.	0,025.	0,63.	0,025.
	0,057.	0,098.	0,098.	0,960.	0,098.
	0,192.	0,22.	0,227.	0,5 153.	0,234.
	0,346.	0,295.	0,295.	0,8 703.	0,295.
	0,230.	0,226.	0,217.	0,4 709.	0,208.
	0,076.	0,100.	0,109.	0,1 188.	0,118.
	0,038.	0,025.	0,031.	0,97.	0,038.

Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:

где — теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).

Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:

• — уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут (q = 0,05)
• — числом степеней свободы, которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.

Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами — СКО и МО (математическим ожиданием). Число степеней свободы определяется по формуле:

Таким образом, табличное значение .

3. Определение доверительного интервала рассеивания случайных погрешностей вокруг среднего значения В доверительном интервале, который предстоит найти с вероятностью Рд, должно находится истинное значение измеряемой величины.

Доверительные границы случайной погрешности находятся по формуле:

где — оценка СКО среднего арифметического значения, которая определяется по формуле:

Если условие выполняется, то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического (нормального) распределения принимается (она не противоречит данным).

Так как по условию Рд = 0,89, то значение функции Лапласа:

F (Zp) = 0,89.

Из таблицы определяем величину нормированного параметра Zp, которая соответствует данному значению функции Лапласа.

Zp = 1,6.

Таким образом, доверительный интервал случайной ошибки:

Перед определением суммарной погрешности определим ее постоянные неисключенные составляющие.

Постоянные неисключенные составляющие:

— погрешность снятия показаний со шкалы (принимается равной цене деления шкалы прибора):

мм, где С = 0,010 мм — цена деления шкалы прибора;

— систематическая неисключенная погрешность округления результата:

— неисключенная погрешность прибора (условно принимается равной цене деления шкалы прибора:

Суммирование частных постоянных погрешностей измерения производится по двум формулам:

распределение закон погрешность измерение.

где k — поправочный коэффициент, зависящий от числа слагаемых погрешностей и доверительной вероятности. В нашем случае k = 0,99.

Тогда.

Для дальнейшего расчета принимаем (выбирается наибольшее значение).

В качестве общей случайной погрешности принимаем величину доверительного интервала, полученную из экспериментов по замерам параметра:

Определение суммарной погрешности измерения:

В качестве окончательного результата принимаем большее значение.

Результат в общем виде: 102,1±0,025.