Поток вектора напряженности

Определим поток вектора через произвольную поверхность dS. — нормаль к поверхности. б — угол мєжду нормалью и силовой линией вектора. Можно ввести вектор площади. ПОТОКОМ ВЕКТОРА называется скалярная величина Ф_Е равная скалярному произведению вектора напряженности на вектор площади.

Для однородного поля.

Для неоднородного поля.

где — проекция на , — проекция на .

В случае криволинейной поверхности S ее нужно разбить на элементарные поверхности dS, рассчитать поток через элементарную поверхность, а общий поток будет равен сумме или в пределе интегралу от элементарных потоков.

где — интеграл по замкнутой поверхности S (например, по сфере, цилиндру, кубу и т. д.).

Поток вектора является алгебраической величиной: зависит не только от конфигурации поля, но и от выбора направления. Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали принимается внешняя нормаль, т. е. нормаль, направленная наружу области, охватываемой поверхностью.

Для однородного поля поток через замкнутую поверхность равен нуля. В случае неоднородного поля.

.

Теорема Гаусса и ее применение к расчету напряженности электростатического поля.

I. Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое единичным положительным зарядом. Заключим его в сферу радиуса R. Определим поток напряженности через сферическую поверхность радиуса R.

Разобъем поверхность S сферы на элементарные площадки dS. Нормаль к площадке dS направлена по линии радиуса сфера и совпадает с направлением вектора: параллельна поэтому.

Тогда поток вектора через поверхность S будет равен сумме потоков через элементарные площадки dS и устремляя dS к 0 можно записать, что.

Учитывая, что напряженность поля точечного заряда равна.

Этот результат можно обобщить на случай любой поверхности.

Учитывая принцип суперпозиции можно полученный результат применить к любому количеству зарядов, находящихся внутри поверхности.