Свойства умножения матриц на число

• 1. 1A = A;
• 2. (лв)A = л (вA)
• 3. (л+в)A = лA + вA
• 4. л (A+B) = лA + лB
• Ш Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Сложение матриц есть операция нахождения матрицы, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц и, то есть каждый элемент матрицы равен.

Свойства сложения матриц:

• 1. коммутативность: A+B = B+A;
• 2. ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);
• 3. сложение с нулевой матрицей: A + И = A;
• 4. существование противоположной матрицы: A + (-A) = И;

Ш Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение:, реже со знаком умножения) — есть операция вычисления матрицы, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице должно совпадать с количеством строк в матрице, иными словами, матрица обязана быть согласованной с матрицей. Если матрица имеет размерность , —, то размерность их произведения есть .

Определение обратной матрицы Обратная матрица — такая матрица A^?1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Определение определителя Определитель — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det (A), |А| или Д (A).

Свойства определителя.

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть.

.

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,.

.

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,.

.

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой — вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,.

.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.

Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.

СВОЙСТВО 9. Определитель.

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

,.

,.

.

Методы вычисления определителя третьего порядка.

Для вычисления определителей третьего порядка существует следующие правила.

Правило треугольника.

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т. е.

Правило Саррюса.

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус» :

Разложение определителя по строке или столбцу.

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Определение предела функции Предел функции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f (x) имеет предел L в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f (x) близко к L.

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Предел функции обозначается как или через символ предела функции:

Свойства предела функции Ш Предел постоянной величины Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

Ш Предел суммы Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

Ш Предел произведения функции на постоянную величину Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

Ш Предел произведения Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения.

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

Ш Предел частного Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Определение бесконечно малой величины Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Последовательность называется бесконечно малой, если. Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки, если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если, то, .