Аналитическое выравнивание временного ряда

Аналитическое выравнивание временного ряда представляет из себя построение аналитической функции, модели тренда. Для этого применяются различного рода функции: линейные, степные, параболические и т. д.

Параметры тренда определяются как и в случае линейной регрессии методом наименьших квадратов, где в качестве независимой переменной выступает время, а в качестве зависимой переменной — уровни временного ряда. Критерием отбора наилучшей формы тренда служит наибольшее значение коэффициента детерминации, критерии Фишера и Стьюдента.

Допустим, что некоторая теоретическая модель предполагает линейную зависимость одной из характеристик системы от других:

y = У_i k_i· x_i

(i — число независимых переменных). Задача заключается в следующем: при фиксируемых параметрах x и измеренных значениях y рассчитать вектор параметров k, удовлетворяющий некоторому критерию оптимальности.

В методе наименьших квадратов этим критерием является минимум суммы квадратов отклонений расчитанных значений y от наблюдаемых (экспериментальных):

min У_i (y_{s, i} — y_i)І.

Чтобы найти минимум функции, это выражение надо продифференцировать по параметрам и приравнять нулю (условие минимума). В результате поиск минимума суммы квадратов сводиться в простым операциям с матрицами.

Если теоретическая модель представляет собой линейную зависимость от одного параметра (y = a + b· x), то решение выражается в виде простых формул:

Z = nУx_iІ - (Уx_i)І;

a = (Уy_iУx_iІ - Уy_ix_iУx_i) / Z; S_aІ = S_yІ Уx_iІ / Z;

b = (nУy_ix_i — Уy_iУx_i) / Z; S_bІ = S_yІ n / Z;

S_yІ = У (y_{s, i} — y_i)І / (n — 2).

(y_{s, i} — рассчитанное значение, y_i — эксперементально измеренное значение) При расчете погрешностей предполагается, что точность значений x значительно превосходит точность измеряемых значений y, погрешность измерения которых подчиняется нормальному распределению.

Автокорреляция в остатках — корреляционная зависимость между значениями остатков за текущий и предыдущие моменты времени.

Линейные регрессионные модели с гомоскедастичными и гетероскедастичными, независимыми и автокоррелированными остатками. Как мы видим из привиденного выше, основное — это «очистка» временного ряда от случайных отклонений, т. е. оценивание математического ожидания. Отсюда естественным образом появляются более сложные модели. Например, дисперсия может зависеть от времени. Такие модели называют гетероскедастичными, а те, в которых нет зависимости от времени — гомоскедастичными. (Точнее говоря, эти термины могут относиться не только к переменной «время», но и к другим переменным.) В случае, если погрешности никак не связаны между собой автокорреляционная функция должна быть вырожденной — равняться 1 при равенстве аргументов и 0 при их неравенстве. Понятно, что для реальных временных рядов так бывает далеко не всегда. Если естественный ход изменений наблюдаемого процесса является достаточно быстрым по сравнению с интервалом между последовательными наблюдениями, то можно предсказать «затухания» автокорреляции" и получения практически независимых остатков, в противном случае остатки будут автокоррелированы.

Под идентификацией моделей обычно понимается выявление их структуры и оценивание параметров. Так как структура — это тоже параметр, хотя и нечисловой, то речь идет об одной из типовых задач эконометрики — оценивании параметров.

Наиболее просто решается задача оценивания для линейных (по параметрам) моделей с гомоскедастичными независимыми остатками. Восстановление зависимостей во временных рядах может быть проведено на основе методов наименьших квадратов и наименьших модулей, на случай временных рядов переносятся результаты, связанные с оцениванием необходимого набора регрессоров, в частности, легко получить предельное геометрическое распределение оценки степени тригонометрического полинома.

Тем не менее, на более общую ситуацию такого простого переноса делать не рекомендуется. Рассмотрим, например, в случае временного ряда с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками снова можно воспользоваться общим подходом метода наименьших квадратов, однако система уравнений метода наименьших квадратов и, естественно, ее решение будут иными. Формулы будут отличаться. В связи с чем данный метод называется «обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК)» .

Проанализируем эконометрическую модель временного ряда, описывающего рост индекса потребительских цен (индекса инфляции). Пусть I (t) — рост цен в месяц t. Тогда, по мнению некоторых экономистов, естественно предположить, что:

I (t)=cI (t-1)+a+dS (t-4)+.

Где I (t-1) — рост цен в предыдущий месяц (а cнекоторый коэффициент затухания, предполагающий, что при отсутствии внешний воздействий рост цен прекратится), aконстанта (она соответствует линейному изменению величины I (t)со временем), bS (t-4) — слагаемое, соответствующее влиянию эмиссии денег (т.е. увеличения объема денег в экономике страны, осуществленному Центральным Банком) в размере S (t-4) и пропорциональное эмиссии с коэффициентом b, причем это влияние проявляется не сразу, а через 4 месяца; наконец, — это неизбежная погрешность.

Модель, даже, несмотря на свою простоту, демонстрирует многие характерные черты гораздо более сложных эконометрических моделей. Во-первых, обратим внимание на то, что некоторые переменные определяются (рассчитываются) внутри модели, как I (t). Их называют эндогенными (внутренними). Другие задаются извне (это экзогенные переменные). Иногда, как в теории управления, среди экзогенных переменных, выделяют управляемые переменные — те, с помощью которых менеджер может привести систему в нужное ему состояние.

Во-вторых, в соотношении появляются переменные новых типов — с лагами, т. е. аргументы в переменных относятся не к текущему моменту времени, а к некоторым прошлым моментам.

В-третьих, составление эконометрической модели такого типа — это отнюдь не рутинная операция. Например, запаздывание именно на 4 месяца в связанном с эмиссией денег слагаемом — это результат достаточно сложной предварительной статистической обработки.

Далее изучают зависимость/независимость S (t-4) и I (t).

От решения этого вопроса зависит конкретная реализация процедуры метода наименьших квадратов.

С другой стороны, в модели (1) всего 3 неизвестных параметра, и постановку метода наименьших квадратов выписать нетрудно:

Далее рассмотри модель такого типа с большим числом эндогенных и экзогенных переменных, с лагами и сложной внутренней структурой. Иначе говоря, ниоткуда не следует, что существует хотя бы одно решение у такой системы. В связи с чем возникает не одна, а две проблемы. Существует ли хоть одно решение? Если да, то как найти наилучшее решение из возможных? (Это — проблема статистической оценки параметров.).

Обе задача достаточно сложны. Для решения обоих задач разработано множество методов, обычно достаточно сложных, лишь часть из которых имеет научное обоснование. В частности, достаточно часто пользуются статистическими оценками, не являющимися состоятельными (строго говоря, их даже нельзя назвать оценками).

Коротко опишем некоторые распространенные приемы при работе с системами линейных эконометрических уравнений.

Система линейных одновременных эконометрических уравнений. Чисто формально можно все переменные выразить через переменные, зависящие только от текущего момента времени. Например, в случае вышеприведенного уравнения достаточно положить.

H (t)=I (t-1), G (t)=S (t-4).

Тогда уравнение пример вид.

I (t)=cH (t)+a+bG (t)+.

Отметим тут же возможность использования регрессионных моделей с переменной структурой путем введения фиктивных переменных. Данные переменные при одних значениях времени (скажем, начальных) принимают заметные значения, а при других — сходят на нет (становятся фактически равными 0). В результате формально (математически) одна и та же модель описывает совсем разные зависимости.

Как уже отмечалось выше, создана масса методов эвристического анализа систем эконометрических уравнений. Данные методы предназначены для решения тех или иных проблем, возникающих при попытках найти численные решения систем уравнений.

Одной из проблем является наличие априорных ограничений на оцениваемые параметры. Например, доходы домохозяйства могут быть потрачены либо на потребление, либо на сбережение. Отсюда, сумма долей этих двух видов трат априори равна 1. А в системе эконометрических уравнений эти доли могут участвовать независимо. Отсюда возникает мысль оценить их методом наименьших квадратов, не обращая внимания на априорное ограничение, а потом подкорректировать. Данный подход называется косвенным методом наименьших квадратов.

Двух шаговый метод наименьших квадратов заключается в том, что в приведенном методе производится оценка параметров отдельного уравнения системы, а не рассмотрение системы в целом. И так же трех шаговый метод наименьших квадратов применяется для оценки параметров системы одновременных уравнений в целом. Изначально к каждому уравнению применяется двух шаговый метод с единой целью оценить коэффициенты и погрешности каждого уравнения, а в дальнейшем построить оценку для ковариационной матрицы погрешностей. Затем для оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов.

Менеджеру и экономисту не рекомендуется быть специалистом в области составления и решения систем эконометрических уравнений, даже с применением специальных программных обеспечений, однако, он должен быть проинформирован о возможности данного направления эконометрики, для того чтобы в случае производственной необходимости квалифицированно сформулировать задание для специалистов-эконометриков.

От оценивания тренда (основной тенденции) перейдем ко второй основной задаче эконометрики временных рядов — оцениванию периода (цикла).

Проблема гетероскедастичности. Для начала выделим стационарные модели. В них совместные функции распределения F (t₁, t₂,…, t_k) для любого числа моментов времени k, а потому и все перечисленные выше характеристики временного ряда не меняются со временем. В частности, математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, автокорреляционная функция зависит только от разности t-s. Временные ряды, не являющиеся стационарными, называются нестационарными.

Гетероскедастичность — свойство исходных, когда дисперсия ошибки зависит от номера наблюдения. На графике гетероскедастичность проявляется в том, что с увеличением или уменьшением порядкового номера измерения увеличивается рассеивание измерений около линии тренда. Это может привести к существенным погрешностям оценок коэффициентов уравнения регрессии. Гетероскедастичность возникает тогда, когда объекты как правило неоднородны. Существует несколько методов коррекции, решающих проблему гетероскедастичности. Наиболее эффективный из них — метод взвешенных наименьших квадратов.

Сущность метода чрезвычайно проста. Пусть исходная модель имеет вид.

y=ax+ b +е.

Тогда, делением каждого элемента системы на значение уt мы приходим к другой системе.

где у_t2 = у _2щ, взвешенная дисперсия;

?щt = n, n — число измерений.

Таким образом, с помощью этого преобразования мы устраняем гетероскедастичность.

Кроме того, логарифмирование исходных данных также в некоторых случаях снижает ошибки определения параметров модели, вызванные гетероскедастичностью.

Пример задачи аналитического выравнивания