Математическая модель определения пространственно-временного состояния объекта

Контроль пространственного состояния объектов основывается на анализе геодезических данных, которые получаются в результате измерений координат геодезических знаков, закрепленных в теле исследуемого объекта (геодезической системы). (см.приложение) В результате проведения инженерно-технических работ по наблюдению за состоянием объектов, обработки результатов измерений, а также их уравнивания получают сводку координат геодезических знаков системы.

Эти данные являются информационным базисом для анализа состояния геодезической системы и, следовательно, всего объекта. Состояние точки геодезической системы определяется координатами x, y, h:

. (1).

Наблюдения за движениями объектов производят циклично с периодом, установленным в соответствии с определенным графиком проведения съемочных работ. Движения могут быть непрерывными, дискретными и смешанными. Исходя из этого, цикличность измерений необходимо определять:

• -для непрерывных движений — в соответствии с периодом наиболее высокочастотной составляющей движения;
• -для дискретных движений (важно, чтобы измерения отображали эти движения);
• -для смешанных движений — с учетом требований при непрерывном и дискретном движении.

I уровень декомпозиции представляет собой исследование поведения системы в различные моменты времени. В методе фазового пространства эпоха (момент времени t) определяется вектор — функцией:

. (2).

Таким образом, анализируя вектор-функцию (2) для каждого знака, делают выводы о закономерностях изменения положений элементов геодезической системы.

Примером массива высотных координат может послужить табл. 6.

Таблица.6. Массив высотных координаты геодезических знаков.

Каждый цикл измерений характеризуется последовательностью, образованной координатами точек геодезической системы:

(3).

Такая последовательность будет называться точкой метрического пространства, а числа h_n, n=1,2,…, — ее координатами. Таким образом, каждый цикл измерений характеризуется одной точкой в n-мерном метрическом пространстве.

Модуль M находится как квадратный корень из суммы квадратов превышений геодезических марок в определённый момент времени, т. е.

. (4).

б — находится как функция арккосинуса отношения суммы произведений превышений в последующий и предыдущий моменты времени к произведению первого на последующие значения модулей M_i, т. е.

. (5).

где — скалярное произведение векторов т. е.

(6).

Прогнозирование состояния объекта в будущем выполняется методом экспоненциального сглаживания. Этот метод применяется в том случае, если элементы предыстории являются независимыми величинами. Задача прогнозирования заключается в том, что необходимо выполнить прогнозирование и построить фазовую точку на графике фазовой траектории на будущий момент времени.

Рисунок. 6. Построение прогнозной точки на графике фазовых координат.

Прогнозируются фазовые координаты M (t) и б (t). Фазовые координаты — независимые величины. Функция экспоненциального сглаживания основана на математической модели, выраженной уравнением:

(7).

где S (пр) — прогнозируемое значение;

y (t) — реальное значение, на основе которого строится прогноз;

a — коэффициент сглаживания,.

S (пр-1) — предыдущее прогнозное значение.

Сутью этих вычислений является подбор аппроксимирующей функции для того, чтобы дать объективное значение прогноза. Необходимо задать уравнением траекторию, которую нужно прогнозировать. Чем a ближе к 0, тем прямее будет траектория, если a = 1, то контур будет наиболее полным. Пользователю даётся возможность выбора коэффициента a.

Для определения координат прогнозной точки, необходимо сначала вычислить прогноз для M (t) и б (t) на известные моменты времени и только потом определить прогноз на неизвестный момент времени.

(8).

…

Вычисление прогнозного значения для б (t) производится аналогично.

Получив значения прогнозной точки, можно её изобразить на графике фазовой траектории.

Оценка точности заключается в том, чтобы ответить на вопрос, изменяются ли фазовые координаты M (t) и б (t) в диапазоне, определённом точностью начальных измерений (значение точности может варьироваться в пределах от 0.001 до 0.01) или выходят за эти пределы, т. е. является ли расстояние между точками допустимым.

Необходимо сопоставить единицу метрического пространства единице фазового:

(9).

(10).

На основании полученных фазовых координат строится графикотражающий диапазон их точности.

Рисунок 7. График допустимости отклонений фазовых координат от нормы.

Точностью измерения каждой отметки является величина е, которая равна ±0,005 м. У нас имеется матрица высот Н, по ней мы вычисляем матрицы Н+ и Нвычитая или прибавляя к превышениям исходного варианта значение величины е,. Получив матрицы Н+ и Н-, вычисляем для них M+, и M-, по формулам, приведённым выше для вычисления M (t). Контролем устойчивости системы (см. приложение) является выполнение неравенств:

(11).

где, (12).

Если неравенство верно (определяется для определённого момента времени), то состояние устойчиво, если нет, то неустойчиво. Проанализировав таблицу полученных данных, программа должна выдать сообщение об устойчивости системы в целом. Если хоть одно состояние системы в различные моменты времени неустойчиво, то система в целом является неустойчивой.

В результате, при вычислениях появляются ошибки, связанные с их большой точностью (т.е. большим количеством знаков после запятой в вычисленных значения), называемые шумом (см. приложение). Для корректного отображения работы системы от него необходимо избавиться. Достаточно, чтобы в вычисленных значениях, после запятой, присутствовало такое количество знаков, что и в исходных данных, но иногда это может не дать адекватный (см. приложение) результат и тогда нужно экспериментально (см. приложение) выявить нужную точность вычислений.

II уровень декомпозиции представляет собой моделирование блоков в системе в пространстве и времени относительно друг друга. Структурная схема подразделяется на подсистемы, определённые частями объекта. На данном этапе необходимо сравнять количество марок на блоках, привести их к общему знаменателю (если марки уже расставлены) или же распределить имеющееся количество марок относительно блоков системы в равном количестве.

Дальнейшее исследование блоков ведётся по тому же алгоритму, что и на I уровне декомпозиции.

III уровень декомпозиции представляет собой моделирование подблоков в системе в пространстве и времени относительно друг друга. Структурная схема подразделяется на подсистемы, определённые частями объекта. На данном этапе необходимо сравнять количество марок в подблоках, привести их к общему знаменателю (если марки уже расставлены) или же распределить имеющееся количество марок относительно подблоков системы в равном количестве.

Дальнейшее исследование блоков ведётся по тому же алгоритму, что и на I уровне декомпозиции.

IV уровень декомпозиции основывается на построении графиков, зависящих от времени.