Гармонический осциллятор. 
Уравнение Шредингера

Пружинный, физический и математический маятники являются примерами классических осцилляторов. Потенциальная энергия гармонического осциллятора определяется выражением.

(14).

где — собственная частота колебаний осциллятора, m — масса частицы. Амплитуда колебаний классического осциллятора определяется его полной энергией E. Классическая частица совершает движение в пределах (,).

Стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера осциллятор шредингер стационарный квантовый.

(15).

где E — полная энергия осциллятора. Уравнение (15) имеет конечные и непрерывные решения при собственных значениях энергии.

. (16).

Уровни энергии гармонического осциллятора являются равноотстоящими друг от друга. Наименьшее возможное значение энергии равно. Это значение называется энергией нулевых колебаний. Существование минимальной энергии является типичной для квантовых систем и представляет прямое следствие соотношения неопределенностей.

Квантовая механика позволяет вычислить вероятности переходов из одного состояния в другое. Вычисления показывают, что для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними уровнями. При таких переходах квантовое число n изменяется на единицу.

. (17).

Условие (17) на возможные переходы называется правилом отбора. Таким образом, энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями .