Однофакторный дисперсионный анализ

Различия между значениями отдельных элементов статистической совокупности складываются под влиянием множества отдельных факторов. Степень влияния факторов на изменение величины признака неодинакова. Одни факторы в большей степени, а другие — в меньшей оказывают влияние на вариацию признака. В этой связи различают вариации систематическую и случайную (рис. 10.3).

Рис. 103. Виды вариаций.

В дисперсионном анализе общая вариация подразделяется на составляющие, и производится их сравнение. Целью дисперсионного анализа является исследование влияния тех или иных факторов на изменчивость средних значений изучаемого признака. Для этого производится разложение дисперсии наблюдаемой совокупности на составляющие, порождаемые независимыми факторами.

Общая дисперсия раскладывается на факторную (межгрупповую) дисперсию, связанную с группировочным признаком, и остаточную (внутригрупповую) дисперсию, не связанную с группировочным признаком. Факторная дисперсия объясняет вариацию результативного признака под влиянием изучаемого фактора; остаточная дисперсия — вариацию результативного признака, обусловленную влиянием прочих факторов (за исключением влияния изучаемого фактора). Таким образом, дисперсионный анализ представляет собой процесс мысленного и практического разложения общей дисперсии на составные части и сопоставления между собой этих частей, что в результате позволяет исследовать влияние тех или иных факторов на изменчивость средних значений изучаемого признака.

Сущность дисперсионного анализа заключается в сопоставлении межгрупиовой и внутригрупповой дисперсий и формировании на основе этого соотношения суждения о влиянии и роли научаемого фактора. При исследовании статистической значимости различия между средними двух (или нескольких) групп сравнивают выборочные дисперсии. Фундаментальная концепция дисперсионного анализа была предложена Р. Фишером в 1920 г.

Различают дисперсионный анализ: а) однофакторный; б) двухфакторный; в) многофакторный (рис. 10.4).

Рис. 10.4. Виды дисперсионного анализа.

Однофакторный дисперсионный анализ проводится на основе выделения групп изучаемого признака по одному фактору. Двухфакторный дисперсионный анализ осуществляется с использованием выделения групп изучаемого признака, но двум факторам. Многофакторный дисперсионный анализ осуществляется с использованием выделения групп изучаемого признака, но трем факторам и более. Процессы однофакторного, двухфакторного и многофакторного дисперсионных анализов различны. Обычно в социально-экономических исследованиях используются одноили двухфакторные комплексы. Многофакторные комплексы можно исследовать, последовательно выделяя из статистической совокупности одноили двухфакторные комплексы.

Таким образом, дисперсионный анализ позволяет устанавливать не только степень одновременного влияния на признак нескольких факторов и каждого в отдельности, но также их суммарное влияние в любых комбинациях и дополнительный эффект от сочетания разных факторов. При этом следует учитывать, что при исследовании может оставаться неучтенным некоторое количество факторов, однако методика дисперсионного анализа тем не менее позволяет оценить долю их влияния на общую изменчивость признака, и исследователь обычно имеет возможность выделить несколько важнейших факторов и изучать именно их воздействие на изменчивость признаков.

Необходимыми условиями применения одиофакторного дисперсионного анализа являются:

• 1) соответствие распределения анализируемых групп генеральным совокупностям, имеющим нормальный закон распределения или близкий к нему;
• 2) независимость (несвязанность) распределения наблюдений в группах;

3) наличие частоты (повторяемости) наблюдений.

Дисперсионный анализ целесообразно применять совместно с аналитической группировкой, когда статистические данные подразделяются на группы по значениям признака-фактора, вычисляются значения средних величин результативного признака в группах. При этом полагают, что различия в их значениях определяются различиями в значениях фактора. Осуществляется оценка существенности различий между средними значениями результативного признака в группах.

Испытуемая гипотеза заключается в том, что если данные каждой группы изучаемой статистической совокупности представляют случайную выборку из нормально распределенной генеральной совокупности, то величины всех частных дисперсий должны быть пропорциональны своим степеням свободы и каждую из них можно рассматривать как оценку генеральной дисперсии.

Испытуемая гипотеза может быть записана как гипотеза о средних величинах

Эта гипотеза является нулевой гипотезой альтернативная гипотеза (рис. 10.5)

Рис. 10.5. Формулировка гипотез в дисперсионном анализе.

В дисперсионном анализе дисперсией называют сумму квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней арифметической. Сначала определяют общую дисперсию, обусловленную влиянием вариации всех признаков, затем факторную и остаточную дисперсии.

Определение общей дисперсии, обусловленной влиянием на вариацию у всех признаков, производится, но формуле.

где г/, — — отдельные значения результативного признака; у_общ — общая средняя; / — число единиц совокупности в каждой группе.

Факторная дисперсия представляет собой сумму квадратов отклонений частных (групповых) средних от общей средней, умноженных на число единиц в каждой группе:

где у_ур — групповые средние значения результативного признака; г/_общ — общая средняя; f_i — число единиц совокупности в каждой группе.

Остаточная дисперсия (случайная) есть сумма групповых сумм квадратов отклонений всех вариант результативного признака в группах от средних значений признака в них:

Далее производится оценка достоверности влияния факторного признака на результативный. Для этого определяется число степеней свободы вариации V. Различают степени свободы факторной и остаточной дисперсий. Число степеней свободы для факторной дисперсии равно количеству групп минус единица. Эта величина показывает, что в такой выборочной совокупности (любая выборка имеет ограниченный объем) каждая варианта свободна принимать любые значения, кроме одного, определяемого разностью между суммой всех остальных вариант и объемом выборки, т. е. одна варианта не имеет степени свободы вариации. Если выборочная совокупность достаточно велика, то разница между N и Л' - 1 несущественна, поэтому не оказывает влияния на результат расчетов. Число степеней свободы для остаточной дисперсии равно разности между количеством индивидуальных значений признака и числом групп.

Затем рассчитываются дисперсии на одну степень свободы вариации (такая дисперсия может быть обозначена как О*). В этом случае дисперсии выступают как показатели, позволяющие сравнивать группы с разной численностью. Далее осуществляется проверка правильности расчетов числа степеней свободы вариации.

Отношение факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы, позволяет определить /'-критерий:

где ?)ф — факторная дисперсия на одну степень свободы; /)* — остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Данный /'-критерий назван в честь английского статистика Р. Фишера (1890—1969) критерием Фишера. Критерий представляет собой отношение выборочных дисперсий, которые рассматриваются как оценки одной и той же генеральной дисперсии. В числителе /'-критерия находится большая дисперсия, в знаменателе — меньшая. Минимальное значение = 1, максимальное значение ^_тах —> °° .

Фишером было установлено распределение отношений дисперсий, а также разработаны специальные таблицы теоретических значений /'-критерия при двух вероятностях: 0,05 и 0,01, поэтому критические значения /'-критерия берутся из таблиц /'-распределения, /'-распределение зависит от уровня значимости и от числа степеней свободы сравниваемых дисперсий с1/_{ и <//₂ (сответствующие таблицы можно найти в работе [401).

Теоретическое значение /'-критерия находят по таблицам для принятого в исследовании уровня значимости с учетом числа степеней свободы для факторной и остаточной дисперсий. При этом 5%-ному уровню значимости соответствует 95%-ный уровень вероятности, 1%-ному — 99%-ный уровень вероятности. В большинстве случаев избирают 5%-ный уровень значимости. Теоретическое значение /'-критерия при заданном уровне значимости по таблицам определяют на пересечении строки и столбца, соответствующих двум степеням свободы дисперсий: по строке — остаточной, по столбцу — факторной.

Расчетное значение /'-критерия сравнивают с табличным:

• если , то статистическое наблюдение доказывает с вероятностью, большей заданной, влияние фактора на результативный признак;

• если , то статистическое наблюдение доказывает.

с заданной вероятностью влияние фактора на результативный признак;

• если, влияние фактора на результативный признак не доказано, но не доказано и отсутствие влияния фактора; статистическое наблюдение необходимо повторить, уравнивая группы по факторам, за исключением изучаемого фактора, или увеличить количество единиц изучаемой совокупности;

• если (т.е. /'_расч много меньше /^6;,), то рассчитывают /^,*_асч как отношение остаточной дисперсии на одну степень свободы к факторной дисперсии на одну степень свободы:

Рис. 10.6. Принципиальная схема однофакторного дисперсионного анализа.

Теоретическое значение Е-критерия в данном случае определяют при заданном уровне значимости по таблицам на пересечении строки и столбца, соответствующих двум степеням свободы дисперсий: по строке — факторной, по столбцу — остаточной. Если Тр_асч > /'.;_а6.|, то статистическое наблюдение достоверно доказывает отсутствие влияния фактора на результативный признак.

Принципиальная схема однофакторного дисперсионного анализа представлена на рис. 10.6.

В случае выделения групп по одному фактору осуществляется однофакторный дисперсионный анализ. Разложение дисперсии при этом проводится в соответствии с правилом сложения дисперсий (см. параграф 10.1):

где у_1} — значение результативного признака у /-й единицы в у-й группе; г — номер единицы, г = 1, п_}] — номер группы; п_} — численность у-й группы; г/_; — средняя величина результативного признака в у-й группе; у — общая средняя результативного признака.

Обозначив суммы квадратов отклонений буквой Д получим равенство:

На основе разложения дисперсии в соответствии с гипотезой отсутствия различий между группами могут быть получены три оценки генеральной дисперсии, пропорциональные степени свободы: на основе общей вариации, межгрупповой (факторной) и внутрегрупповой (остаточной). Число степеней свободы равно:

• для общей вариации

• для межгрупповой вариации

• для внутригрупповой вариации

Числа степеней свободы связаны между собой равенством или.

Деление сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы дает три оценки генеральной дисперсии а²:

Поскольку Ц,_)акт измеряет вариацию результативного признака, связанную с изменением фактора, по которому проведена группировка, а В_ост — вариацию, связанную с изменением всех прочих факторов, сравнение этих величин, рассчитанных на одну степень свободы, дает возможность оценить существенность влияния признака-фактора на результативный признак с помощью /•'-критерия.

Если Еф_акх > Е_табл (а, с1/₂), можно утверждать, что нулевая гипотеза не соответствует фактическим данным, влияние признака-фактора является существенным и статически значимым.

Процесс однофакторного дисперсионного анализа представлен в табл. 10.9.

Рассмотрим практическое применение однофакторного дисперсионного анализа. Анализ формирования чистой прибыли необходим как внутренним пользователям с целью определения резервов ее повышения, так и внешним пользователям для оценки организации как потенциального заемщика или делового партнера.

Таблица 10.9

Однофакторный дисперсионный анализ

Источник вариации.	Сумма квадратов отклонений, О	Число степеней свободы, с//.	Средний квадрат отклонений,. «2 = ?>: ?/.	/•?-критерий.
Между группами.		т-1.		—.
Внутри групп.		п-т		с2. *2
Общая.		п-1.	52

На формирование чистой прибыли предприятия оказывает влияние множество факторов: средние цены реализации продукции, объем реализации продукции, размер затрат денежно-материальных средств на производство продукции, коммерческих расходов и т. д. Осуществим однофакторный дисперсионный анализ на примере выявления зависимости чистой прибыли предприятий от фактора — средних цен реализации продукции.

По данным табл. 10.10 проверим гипотезу Н₀:

Щ =Й2 = йз>

т.е. предположим, что средние цены реализации не влияют на чистую прибыль предприятия.

Таблица 10.10

Исходные данные для однофакторного дисперсионного анализа: зависимость чистой прибыли предприятия от средних цен реализации продукции

Введем в таблицу обозначения, определим число предприятий и среднегодовую чистую прибыль в гр. 2 и 3 габл. 10.11.

Однофакторный дисперсионный анализ: зависимость чистой прибыли предприятия от средних цен реализации продукции.

По данным табл. 10.11 находим:

Фактическое значение /•'-критерия.

Оформим результаты однофакторного дисперсионного анализа в табл. 10.12.

Таблица 10.12

Результаты однофакторного дисперсионного анализа: зависимость чистой прибыли предприятия от средних цен реализации продукции.

Источник вариации.	Сумма квадратов отклонений, О	Число степеней свободы, ?/	Средний квадрат отклонений, 52 = 0/(1/	/•" -критерий.
Между группами.				—.
Внутри групп.
Общая.				;

Критическое значение /?'-критерия из таблицы (сответствующие таблицы можно найти в работе [40]).

Поскольку /⁷ф_акх > /'_{га (}-_)Л, то #₀ отклоняется.

На 5%-ном уровне значимости нельзя признать справедливой гипотезу о равенстве годовой чистой прибыли по группам предприятий с разными средними ценами реализации продукции. Таким образом, средняя цена реализации продукции является важным фактором формирования чистой прибыли.