Геометрическая симметрия четырёхмерного мира

Соображения, опирающиеся на симметрию, играют важную роль в физических, и не только физических исследованиях. Использование имеющихся симметрий существенно упрощает анализ любой ситуации.

Пространство, в котором разыгрываются физические события, — наше обычное трёхмерное пространство или четырёхмерный мир, или пространство-время, рассматриваемые в специальной теории относительности, — тоже обладают определённой симметрией.

Объясним, — Что это означает? Какой именно симметрией обладает четырёхмерный мир?

Идея симметрии пространства возникла из идеи симметрии геометрической фигуры, например, равностороннего треугольника или идеально правильного куба. В частности, куб определённо обладает очень высокой симметрией, и под этим мы понимаем только то, что существуют операции, отличные от тождественной, которые переводят куб сам в себя.

Если представить себе, что мы располагаем двумя идентичными экземплярами куба, то можно представить себе мысленно также и «совмещение» этих двух кубов друг с другом при перемещениях и поворотах их в пространстве так, чтобы и вершины, и рёбра, и грани кубов совместились друг с другом. Легко видеть, что такое совмещение можно осуществлять по-разному: повернув предварительно каким-либо определённым образом второй куб перед совмещением его с первым. В частности, второй куб можно совместить с первым, вообще не повёртывая его заранее. Такая операция совмещения называется тождественной. Кроме этой тождественной операции, существуют и другие операции, позволяющие совмещать по-разному повёрнутый предварительно один экземпляр куба с другим его экземпляром.

Наличие таких операций, которые называют «операциями симметрии», позволяющих совмещать геометрическую фигуру саму с собой, свидетельствует о геометрической симметрии рассматриваемой фигуры. Множество операций симметрии геометрической фигуры образуют то, что в математике называют группой симметрии этой фигуры.

Чем больше число операций симметрии у геометрической фигуры, тем выше её симметрия. У куба, с учётом тождественной операции, которой обладает любое даже и совсем не симметричное тело, их оказывается 48. У треугольника на плоскости их 3.

Может случиться, что множество операций симметрии в группе симметрии фигуры бесконечно. Тогда имеем случай чрезвычайно высокой симметрии. Так, шар в трёхмерном пространстве можно совместить с самим собой, повёртывая его на любой угол относительно любой оси, проходящей через центр шара, число таких поворотов очевидно бесконечно.

Вернёмся к симметрии бесконечного неограниченного пространства. Здесь тоже следует рассматривать группу преобразований симметрии, переводящих пространство само в себя. Что касается обычного трёхмерного пространства, то его группа симметрии состоит из преобразований параллельных переносов пространства вдоль любой прямой на любое расстояние и из преобразований произвольных поворотов пространства на любой угол вокруг любой оси, проходящей через любую точку пространства.

С указанной симметрией трёхмерного пространства очевидно связана инвариантность всех его свойств относительно выбора любой прямоугольной системы координат OXYZ, центр которой можно поместить в любую точку и оси которой можно ориентировать как угодно.

Что касается четырёхмерного мира, то его группа симметрии тоже состоит из бесконечного числа преобразований, а именно — из преобразований произвольных параллельных переносов пространства вдоль любой «прямой» в этом пространстве, включая и ось времени, и произвольных «поворотов» пространства на любой «угол» вокруг любой «оси» в этом пространстве, включая и «повороты», не затрагивающие осей y и z. Такие повороты как раз и являются рассматриваемыми нами здесь преобразованиями Лоренца.

С указанной симметрией четырёхмерного мира неразрывно связана инвариантность его геометрических свойств относительно выбора одной из систем отсчёта в классе систем отсчёта, получаемых друг из друга равномерным движением в произвольном направлении с произвольной постоянной скоростью. Этот класс «систем координат» в четырёхмерном мире или по-другому — систем отсчёта, отражающих внутреннюю симметрию четырёхмерного мира, и является загадочным классом инерциальных систем отсчёта классической механики Галилея-Ньютона.

Величины, не изменяющиеся при любых операциях симметрии пространства, являются его важнейшими характеристиками. Такие величины называют инвариантными величинами, или просто инвариантами.

В обычном трёхмерном пространстве основными величинами, инвариантными относительно выбора декартовых осей координат, являются длина произвольного отрезка и угол между двумя произвольными отрезками. Это самые важные количественные геометрические величины в нашем трёхмерном пространстве.

Если имеем две точки М₁ и М₂ с координатами x₁, y₁, z₁ и x₂, y₂, z₂, в декартовой системе координат К, то квадрат длинны r отрезка между этими точками даётся известным выражением.

r²=(x_{2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)².}

Это выражение инвариантно относительно выбора системы декартовых координат в пространстве. Если x1', y1', z1' и x2', y2', x2' обозначают координаты взятых точек относительно другой декартовой системы К', то имеем равенство.

r'² = (x_{2'-x1')²+(y2'-y1')²+(z2'-z1')²=}

= (x_{2 — x1 )²+(y2 -y1 )²+(z2 -z1 )²= r²,}

причём штрихованные величины выражаются через нештрихованные с помощью формул преобразования координат.

Так, если система К' получается из системы К поворотом на угол Ф, производимым по правому винту вокруг оси z, то указанные формулы преобразования имеют вид:

x' = x cos Ф — y sin Ф,

y' = x cos Ф — y cos Ф,

z' = z.

В четырёхмерном мире тоже имеется геометрически естественная величина, подобная расстоянию между двумя точками. Это — «расстояние» двух «точек» в четырёхмерном мире. Пусть у нас имеется два мгновенных точечных события М₁ и М₂ с координатами x₁, y₁, z₁, t₁ и x₂, y₂, z₂, t₂ отсчитанными относительно инерциальной системы отсчёта К и с координатами x₁', y₁', z₁', t₁' и x₂', y₂', z₂', t₂' отсчитанными относительно другой инерциальной системы отсчёта К'. Тогда относительно преобразований Лоренца, т. е. выбора системы отсчёта К и К', инвариантна величина квадрата так называемого четырёхмерного, или релятивистского интервала:

s'²=(x_{2'-x1')²+(y2'-y1')²+(z2'-z1')²-c²(t2'-t1')²=}

=(x_{2 -x1 )²+(y2 -y1 )²+(z2 -z1 )²-c²(t2 -t1 )²= s²}

В частности, легко убедиться непосредственно, что эта величина действительно инвариантна относительно тех преобразований Лоренца, которые мы рассматривали выше:

x — vt t — xv/c²

x'=, y'=y, z'=z, t'=.

1-v²/c ² 1-v²/c²

Действительно,.

s'²=(x_{2'-x1')²-c²(t2'-t1')²= *}

1 — v²/c²

*(x_{2-vt2-x1-vt1)² — c² (t2-x² v/c²-t1-x1v/c)² =}

= (x_{2-x1)² — 2v (x2-x1)(t2-t1)+v²(t2-t1)²-}

1-v²/c²

— -c²(t_{2-t1)²+2v (x2-x1)(t2-t1)-v²/c² (x2-x1)²=}

1-v²/c²

=(x_{2-x1)² — c²(t2-t1)²=s²}

Как мы уже сказали, релятивистский интервал, вернее его квадрат s² играет роль квадрата «расстояния» между двумя «точками» в четырехмерном пространстве.

В отличие от квадрата расстояния между двумя точками в обычном трехмерном пространстве, который всегда положителен при несовпадающих точках и равен нулю при совпадающих точках, квадрат релятивистского интервала может быть как положительным, так и отрицательным. В четырехмерном мире имеются пары несовпадающих точек, «расстояния» между которыми равно нулю. Например, рассмотрим геометрическое место точек, лежащих на плоскости xt, от начала координат на нулевое «расстояние». Для них имеем условие.

x²-c²t²= 0,

или.

(x-ct)(x+ct)=0.

Следовательно, искомым геометрическим местом нескольких точек будут две прямые, симметрично расположенные относительно оси времени.

В четырехмерном мире, или в пространстве — времени множество точек, удаленных от начала координат на нулевое «расстояние», образуют конус, осью которого является ось времен. Конус называется световым. Точки, расположенные внутри светового конуса, имеют отрицательные квадраты релятивистского интервала до начала координат. Точки, расположенные вне светового конуса, имеют положительные квадраты релятивистского интервала до начала координат.

Множество точек, для которых квадрат интервала s² от начала координат 0 положителен и постоянен, образует однополостный гиперболоид, окружающий световой конус.

Рассматриваемое нами преобразование Лоренца — простейшее; оно затрагивает только две координаты, а именно x и t в четырехмерном мире. Это преобразование можно рассматривать как некоторый «поворот», который называется «гиперболическим», в плоскости xt.

Поясним, что мы имеем в виду. Вместо временной координаты t в четырехмерном мире введем мнимую временную координату x₄=ict. Тогда преобразования Лоренца можно записать с помощью следующих формул:

1 v/c.

x1' = x1 + i x4 ,.

1- v²/c² 1-v²/c²

v/c 1

x_{1' = i x1 + x4}

1-v²/c² 1-v²/c²

x_{2' = x2, x3'=x3}

Здесь x₁ x, x₂y, x₃ z. Эти формулы можно сравнить с формулами обычного поворота в плоскости x₀, x₁ на угол, которые имеют вид При таком, сравнении получим, что Очевидно не существует действительного угла, который удовлетворял бы этим соотношениям. Однако, как легко видеть, существует чисто мнимый угол, для которого приведенные соотношения будут выполняться. Действительно,.

Поэтому, как следствие вышеприведенных соотношений, получаем формулы Данные соотношения разрешимы, так как, согласно им,.

Как видим, значение мнимого угла, определяется значением отношения скоростей. Введем теперь действительную временную координату, для которой, или.

Тогда формулы преобразования Лоренца примут вид.

Это формулы так называемого гиперболического поворотаПоясним геометрию такого поворота. Рассмотрим плоскость, где.

Тогда имеем формулы преобразования.