Анализ функционирования системы массового обслуживания

Полагая, что покупатели прибывают в магазин «случайно», можно считать, что вероятность прибытия покупателя за любой малый промежуток времени [t, t+], начинающийся в произвольный момент времени t и имеющий продолжительность с точностью до пренебрежимо малых величин пропорционально величине c некоторым коэффициентом Величина интерпретируется как среднее число покупателей (заявок, клиентов…) прибывающих в магазин за единицу времени, а обратная ей величина 1/ - как среднее время появления в магазине одного покупателя.>0. Вероятность того, что за этот промежуток времени в магазин не прибудет ни одного покупателя, может быть приблизительно оценена как 1-.

Исходя из этого, в теории вероятностей делаются выводы:

• — промежутки времени между двумя приходами покупателей подчиняются экспоненциальному распределению
• (t) = *exp (-*), t 0
• — вероятность того, что за любой промежуток времени Т в магазин прибудет k покупателей (клиентов, заявок…) может быть определена как

т.е входной поток покупателей является пуассоновским.

где — интенсивность входного потока, т. е. среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени.

= 1/ [чел/мин; руб/час; чеков/час; кг/час…].

— среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками (приходами покупателей).

— Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания тоже можно считать распределенным экспоненциально.

f (t) = *exp (-tоч) где — интенсивность движения очереди (среднее число заявок, поступающих на обслуживание в единицу времени;

= 1/t_оч. t_оч — среднее значение времени ожидания в очереди.

— Выходной поток заявок (заявок, прошедших обслуживание) связан с потоком обслуживания в канале СМО также, в большинстве случаев, подчиняется показательному закону распределения с плотностью.

F(tобсл) = *exp (-tобсл) (3).

где — интенсивность обслуживания в канале (одним продавцом…), т. е. среднее число заявок (клиентов), обслуживаемых в единицу времени.

= 1/t_обсл = [ чел/мин; руб./день; кг./час; докум./день…].

— Одной из наиболее важных характеристик СМО, связывающей показатели и, является интенсивность нагрузки (),.

= /, (4).

которая показывает степень согласованности входного потока заявок с интенсивностью их обслуживания.

Величину часто называют приведенной плотностью потока требования (заявок) или интенсивностью нагрузки — среднее число требований, приходящихся на среднее время обслуживания одного требования.

Важно заметить, что параметр характеризует степень согласованности входного потока (например, покупателей в магазине) с интенсивностью потока обслуживания. Процесс обслуживания будет стабилен при < n. Если же n, то в системе будет возрастать средняя длина очереди и среднее время ожидания покупателей начала обслуживания, и, следовательно, проектируемая СМО будет работать неустойчиво.

Рассмотрим наиболее общий случай СМО, когда n — канальная система работает в режиме с ожиданием обслуживания и с ограничением на длину очереди (в очереди не может быть более m требований). При этом, мы предполагаем, что входящий поток требований на обслуживание описывается пуассоновским законом распределения с интенсивностью, а время обслуживания требований распределено по показательному закону с интенсивностью .

Вероятность того, что в системе отсутствуют требования (Р₀) может быть определена по формуле:

(5).

Вероятность того, что в системе обслуживания находятся k требований на обслуживание (P_k) может быть определена как:

(7).

Отношение /n часто обозначается через Х и называется уровнем загрузки системы.

Х = /n (8).

Если Х = /n <1, то очередь на обслуживание не образуется и система находится в стационарном состоянии, которое характеризуется тем, что вероятность поступления определенного количества требований в течение заданного промежутка времени зависит только от его продолжительности.

Вероятность отказа в обслуживании требования (заявки, клиента…), если в систему поступает n+m Напомним, что n — это количество заявок, которые могут быть обслужены (с учетом очереди на обслуживание), а m — это количество заявок, которые не могут быть обслужены и получат отказ. заявок на обслуживание.

(9).

Вероятность обслуживания поступившей заявки (или относительная пропускная способность СМО).

Pобсл=1- Ротк. (10).

Абсолютная пропускная способность системы (число фактически обслуженных требований в единицу времени) А=*Робсл. (11).

среднее число занятых каналов Под каналами обслуживания всегда понимается количество людей (машин, механизмов), способных обрабатывать поступившие заявки. Например, количество телефонных аппаратов, установленных для приема заказов товаров по телефону. обслуживания.

(12).

так как, А — это интенсивность потока обслуживания заявок, а каждый канал способен в единицу (в среднем) обслуживать заявок.

Коэффициент использования (занятости) каналов.

Кзан = Х*Робсл = zср/n (13).

Коэффициент простоя каналов обслуживания Кпрос=т = 1-Кзан = 1-Nср/n = 1-X*Pобсл. (14).

Среднее число требований (заявок) в очереди.

L_ср =1*P_n+1+2*P_n+2+…m*P_n+m = (15).

Среднее время обслуживания требований.

Тср (обсл) = Робсл/ (16).

Среднее время ожидания в очереди.

T_{ср (ож. оч)}= (1/n)P_n+(2/n)P_n+1…+(m/n)P_n+m+1 =.

(17).

Так как, если заявка на обслуживание поступит в тот момент, когда все каналы заняты и очереди нет, то время ожидания составит в среднем 1/n, а если заявка поступит в тот момент, когда в очереди находится одно требование на обслуживание, 2/n и т. д.

Среднее время пребывания заявки в СМО Т ср. СМО = Tср (ож. оч) + tср (обсл (18).

Образование очереди возможно только тогда, когда вновь поступившая заявка застанет на обработке в системе не менее n требований на обслуживание Напомним, что n — это число каналов обслуживания, т. е когда в СМО будет находиться n, n+1, n+2,…n+m-1 требований на обслуживание. Учитывая то, что заявки в СМО поступают независимо друг от друга, вероятность того, что все каналы обслуживания будут заняты равна сумме вероятностей Р_n, P_n+1, P_n+2,…P_n+m-1.

Отсюда вероятность образования очереди:

(19).

Выше были приведены формулы для расчета основных характеристик СМО для случая, в котором допускается возникновение очереди при наличии ограничения на ее длину В том случае, если количество заявок в очереди на обслуживание превышают заданную величину m, то эти заявки исключаются из дальнейшего обслуживания. Под величиной ограничения очереди m может также пониматься и количество мест для стоянки автомобилей, помещений для хранения и обработки товаров и др.

Если m=0, то мы имеем дело с первым частным случаем СМО — системы с отказами. Наиболее типичным примером такой СМО является работа стола заказов (или справочной службы) по телефону — если все телефоны заняты приемом заказов, то звонок нового покупателя получает отказ — сигнал занято.

В том случае, когда m При расчете основных характеристик СМО в таблице Excel величина.

m может быть взята в 10 -50 раз больше величины (m = (10 50). , то получаем СМО с ожиданием без ограничения на длину очереди.

Критерии качества функционирования СМО.

Значительная часть показателей функционирования СМО, определенные в предыдущем разделе, — противоречивы в том смысле, что улучшение одних показателей неизбежно ведет к ухудшению других. Например, сокращение длины очереди (или времени ожидания начала обслуживания) путем увеличения числа каналов обслуживания (увеличения количества продавцов, телефонов, подсобных помещений и др.) связано с ухудшением таких показателей как увеличение времени простоя каналов, увеличению затрат на их содержание и др. Таким образом, необходимо проектировать СМО таким образом, чтобы достичь разумного компромисса между показателями собственно заявок и использованием возможностей СМО, т. е необходимо иметь критерий, позволяющий оценить качество работы СМО с этих позиций.

В простейшем случае (например, для систем с отказом) таким критерием может быть выбрана вероятность отказа в обслуживании (Р_отк), Можно потребовать, чтобы Р_отк не превышала заранее заданной величины. Например требование Р_отк<0,1 означает, что СМО, при заданной интенсивности потока заявок (), будет справляться с их обслуживание не менее чем в 90% от их общего числа.

Можно потребовать ограничения среднего времени пребывания заявки в очереди (или системе) В качестве параметра — критерия может выступать либо число каналов n при заданной интенсивности обслуживания заявок, либо интенсивность обслуживания при заданном числе каналов, либо наилучший вариант из n₁, n₂,… n_з, каналов с интенсивностью обслуживания ₁, ₂,… _з.

В качестве обобщенного критерия, учитывающего все противоречивые направленности показателей работы СМО, может быть выбран показатель, характеризующий ее экономическую эффективность. Включающий как издержки обращения (С_{изд. обр}), так и издержки заявок (С_{изд.заявок}), которые будут принимать минимальное значение при минимуме общих затрат (С_затр).

С_затр = С_{изд. обр} + С_{изд.заявок} min.

Так как при оценке затрат необходимо учитывать не только потери, связанные с отказами (или возникновением очередей), но потери, вызванные издержками от простоя каналов в ожидании обслуживания, а также с издержками эксплуатации СМО, обобщенный критерий качества работы СМО может быть записан следующим образом:

Сзатр=(Сэкпл*Nср+Спрост*(n-Nср)+Сотк*Ротк*+Ссист*Тср.СМО) min (20).

Где Сэкпл — издержки, связанные с эксплуатацией системы;

Nс — среднее количество каналов, занятых обслуживанием;

Спрост — издержки, связанные с простоем каналов обслуживания;

Сотк — издержки, связанные с отказом в обслуживании (потерей клиентов);

Ссист — издержки, связанные с пребыванием заявки в СМО;

Тср.СМО — среднее. время пребывания заявки в системе.

Следует заметить, что в качестве критерия эффективности работы СМО (целевой функции) может выступать товарооборот предприятия (например, рентабельность) Тогда, очевидно, оптимальные значения управляемых показателей СМО находятся уже при их максимальном значении и необходимо соответствующим образом произвести преобразования целевой функции.

После построения целевой функции необходимо определеить условия решения задачи, т. е. найти ограничения, установить исходные значения показателей, выделить неуправляемые показатели и построить (или подобрать) совокупность моделей взаимосвязи всех показателей для анализируемого типа СМО, чтобы кв конечном итоге найти оптимальные значения показателей, например количество продавцов, кассиров, подсобных рабочих, фасовщиков, объемы складских помещений и др.