Возникновение счета. 
Истоки математических знаний человечества

Возникновение счета. Понятие числа. Истоки математических знаний

Такие основные понятия, как число или простейшие геометрические фигуры, возникли задолго до появления математических текстов. Понятия числа и геометрической фигуры, которые представляются нам очень простыми и привычными, на самом деле являются абстрактными понятиями, которые могли образоваться только в результате длительной умственной работы. Подобно тому, как понятия дуба или сосны появляются намного раньше общепринятого понятия дерева, так и понятия двух рук и пяти пальцев возникают намного раньше общих понятий двух и пяти.

Когда первобытному охотнику нужно было узнать, все ли собаки в своре, он не считал их, а просто, окинув свору взором, видел, какой собаки не хватает. Такой «чувственный счет», доступный каждому живому существу, существовал задолго до возникновения счета.

Первым шагом к возникновению счета было установление «взаимно однозначного соответствия» между считаемыми предметами и некоторым другим множеством. Оба сравниваемых множества предметов могут быть заранее неизвестны; например, при обмене между первобытными племенами обмениваемые предметы просто раскладывались в два ряда, так что взаимно однозначное соответствие между ними устанавливалось фактически. Именно так описывает Дж. Морган обмен угрей на коренья у австралийских племен. Затем появляются своего рода эталоны счета — естественные, как пять пальцев на руке, или искусственные, как специально приспособленные для этой цели палочки или камешки. Именно появление множества-эталона, символизирующего какое-нибудь конкретное число, привело к возникновению понятия числа. Судя по этнографическим и лингвистическим данным, первые множества-эталоны были естественными. Любой человек знал, что на небе Луна одна, у человека два глаза и на руке пять пальцев. Не удивительно поэтому, что этими словами он стал обозначать числа 1, 2 и 5. В таких случаях говорили, что предметов столько, сколько Лун, сколько глаз или сколько пальцев на руке. Подобное понятие числа вполне соответствует тому уровню развития языка у некоторых малоразвитых народов, когда в нем еще отсутствуют такие абстрактные прилагательные, как «круглый», «черный» и т. п., — вместо этих слов употребляются сравнения: «как Луна», «как вороново крыло» и т. д. Пережиток этой системы встречается в древней индийской словесной системе счисления, где единица называлась Луной, Землей, Брахмой, два — близнецами, глазами, руками, пять — чувствами, стрелами бога любви Камадевы, шесть — запахами, семь — горами, восемь — богами и т. д.

Этот этап счета при помощи «конкретных» чисел сменился следующим, когда из всего разнообразия совокупностей была выбрана одна, наиболее пригодная для счета. Удобнее было пользоваться такой совокупностью, в которую входили более или менее однородные предметы, например, пальцы рук. Если их не хватало, в ход шли пальцы ног. Так, у индийцев племени абипонов число 5 называлось «рука», 10 — «две руки», 20 — «руки и ноги»; в названии 4 — «пальцы страуса» — отражена более ранняя ступень счета. У зулусов каждый палец обозначал определенное число: например, слово «татизитуна» (буквально — «взять большой палец руки») обозначало 6, а «у комбиле», т. е. «он указал», — 7 и т. д. Для такого счета было характерно осязаемое взаимно однозначное соответствие: у некоторых южноафриканских племен при счете дотрагиваются до каждого предмета по очереди пальцами, начиная с мизинца левой руки. У австралийцев и полинезийцев каждая часть тела имела свое название и точно соответствовала месту в своеобразной системе счисления: начиная с мизинца левой руки шли пальцы, запястье, локоть, плечо и т. д., кончая мизинцем правой руки, и обратно. Такой живой шкалой, которая всегда «при себе» пользовались, чтобы сообщить, например, дружественному племени о количестве воинов, собираемых племенами, или о числе дней, по прошествии которых следует выходить на охоту.

О времени появления общего понятия числа у народов Европы и Азии можно сделать вывод, сравнивая названия чисел у народов с родственными языками. Заметно большое сходство между русским числительным «один», немецким eins, английским one, французским un, латинским unus и точно так же между числительными «два», zwei, two, deux, duo, или «три», drei, three, trios, tres на тех же языках. В то же время по-грузински эти же числительные: эрти, ори, сани, по-турецки: bir, iki, ьc, по-венгерски: egy, kettц, harom, по-арабски: ахад, иснан, салас. Сходство числительных у индоевропейских народов показывает, что названия чисел у предков этих народов появились еще в те далекие времена, когда они говорили на одном языке.

Происхождение названий числительных большей частью трудно проследить, но, например, тот факт, что арабские «саб'» — 7 имеет один корень с глаголом «саб'а» — «растерзать на части», указывает на то, что число 7 предки арабов связывали с неопределенно большим числом частей, на которые дикий зверь может растерзать свою жертву; откуда видно, что слово «саб'» первоначально обозначало неопределенно большое количество (с этим связано мистическое значение число 7 в религиях, родственных религии предков арабов).

Чрезвычайно интересны названия числительных на языке народов Восточной Африки суахили: если для 1, 2. 4, 5, 8 и 10 на этом языке собственные названия moja, mbili, tatu и т. д., то названия sita, saba, tisa для 6, 7, 9 представляют собой искажения арабских числительных «ситт», «саб'», «тис'», то же относится к названиям десятков от 20 до 90. Отсюда видно, что к тому времени, когда у побережья Восточной Африки появились арабские купцы, у местных жителей еще не были созданы устойчивые собственные названия для этих чисел.

У большинства народов названия десятков образуются по схеме, где — число десятков (например, двадцать, тридцать, пятьдесят и т. д.). В этой связи очень интересны исключения во французском языке, где 70 называется soixante-dix, 80 — quatre-vingt, 90 — quatre-vingt-dix, т. е. начиная с 70 французы считают не десятками, а двадцатками. Более последовательно счет двадцатками проведен в грузинском языке, где 10 — ати, 20 — оци, 30 — оцдаати, 40 — ормоци, 50 — ормоцдаати, 60 — самоци и т. д.

В большинстве современных языков названия числительных основаны на десятичной системе, т. е. на представлении чисел в виде суммы числа единиц (до 10), числа десятков (до 100), числа сотен (до 1000) и т. д. Несомненно, что в основе этой системы лежит счет на пальцах. Именно так полагал Аристотель, к мнению которого уместно добавить слова А. Лебега: «Возможно, что если бы люди имели одиннадцать пальцев, была бы принята одиннадцатеричная система счисления» А. Лебег. Об измерении величин. — М., 1960, стр. 22.

В некоторых языках числительные сохраняют следы пятеричной системы, в этих языках пальцы второй руки называются так же, как и пальцы первой с прибавлением слова, обозначающего 5 пальцев или руку. Например, в языке шумеров — первоначального населения Междуречья, заложившего начала культуры древнего Вавилона — 7 — имин, а 9 — илимму, а в языке ацтеков — первоначального населения Мексики — 6 — чикуасе, 7 — чикоме, а 9 — чикунауи; число 5, которое некогда называлось у ацтеков «чику», впоследствии получило название «макуили».

На самых первоначальных ступенях развития человек пользовался и двоичной системой счисления. Например, на языке одного из племен островов Торресова пролива существуют следующие наименования: 1 — урапун, 2 — окоза, 3 — окоза-урапун, 4 — окоза-окоза, 5 — окоза-окоза-урапун, 6 — окоза-окоза-окоза и т. д. У племен реки Муррей была похожая система: 1 — энэа, 2 — петчевал, 3 — петчевал-энэа, 4 — петчевал-петчевал и т. д. А вот у австралийского племени камиларои была троичная система счисления: 1 — мал, 2 — булан, 3 — гулиба, 4 — булан-булан, 5 — булан-гулиба, 6 — гулиба-гулиба и т. д.

Некоторые племена в качестве счетного аппарата применяли не самые пальцы рук, а их суставы. В этом случае счет иногда развивался тоже достаточно продуктивно и оформлялся в стройные системы. Процесс счета протекал таким образом: большой палец одной руки являлся счетчиком суставов остальных пальцев этой руки; т.к. на каждом из остальных четырех пальцев этой руки содержится по три сустава, то следующей за суставом высшей единицей являлось число 12, что и послужило шагом к образованию двенадцатеричной системы счисления. Этот процесс иногда не останавливался на 12, а продолжался далее, причем каждый палец другой руки служил единицей высшего разряда, т. е. представлял собой 12, и после отсчета всех пальцев на второй руке создавалась новая единица высшего разряда, т. е. 60. Возможно, что такого рода счет способствовал созданию шестидесятеричной системы счисления, имевшей большое распространение в древнем Вавилоне и перешедшей позднее ко многим другим народам.