Нахождение пределов функций

Контрольная работа по дисциплине «Математика»

для студентов заочного отделения

1. Найти пределы функций:

а) =; =

= = =

= = = = 0;

б) = =

=

=

= = =.6290;

в) = =

= = = 0;

г) = = = =

= ln = = ln e* = 1*56/3 = 18.667;

д); = =

= = ;;

е) = = =

= = + =

= - = - =

= = 2.

2. Найти производные функций:

а) = =

= ;

б) = = = ;

в) = =

= =

= =

= ;

г) = =

= =

= = ;

д) = ;

е); ;

;

ж) ;; ;

; ;; ;;

з). = =

= = ;

3. С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции

.

1 Знаменатель положительный не для всех значений Х, область определения функции имеет точку разрыва. отсюда IхI=7 или точки разрыва х = -7 и х=7.

2. Функция нечетная, следовательно график симметричен относительно центра координат. У (-х) = -У (х). Периодической функция не является.

3. Поскольку область определения вся вещественная ось, вертикальных асимтот график не имеет.

4. Найдем асимптоты при в виде у = kх+b. Имеем:

k =

b =

Таким образом при асимптотой служит прямая ОХ оси координат.

Найдем левый и правый пределы в точках разрыва функции х=-7 и х=+7

=-1,19,

.

В точке (-7:-1,19) первый разрыв функции, К разрыву функции х=7 функции приближается бесконечно близко.

5. Найдем точки пересечения с осями координат:

Точка (0:3,86) с осью ОУ.

6. Исследуем на возрастание и убывание:

=

.0;

Это говорит о том что функция возрастающая.

Строим график:

4. Найти интегралы при m=3, n=4:

а) =

= :

б)= = пусть t = arcsin4x,

получим = = .

в)=

= ;

==.

Решаем равенство и получим:

;

аналогично второе слагаемое

3- получим =

подставим все в последнее равенство

… = + +9±+С.

г).= = =

= ==

= …избавившись от знаменателя получим

B+C+A=0; 25B=332; -625A=625; 25=25(B-C);

Т.е.: A=1; B= 13.28; C=-12.28;

…= = = = 2,527 766.

5. Вычислить интегралы или установить их расходимость при m=3, n=4:

а) = …

пусть t = arctg (x/4), тогда и подставим и получим

… = ;

б)=

= 0,6 880 057.

6. Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:, при m=3, n=4.

х = -1,5, у = -18,25.

точки пересечения с осью ОХ: А (-4,19:0) и В (1,19:0) с осью ОУ — С (0:-16), точка перегиба — D (-1,5:-18,25)

или

Точки пересечения двух функций:

= и т. е.: и .

Площадь получиться из выражения

= = 49,679.

График выглядит:

7. Найти частные производные функций при m=3, n=4:

а) =,

б). ;

;

8. Найти дифференциал функции: при m=3, n=4.

9. Для функции в точке найти градиент и производную по направлению при m=3, n=4.

в точке А (-4,3)

grad (z) = (-0,1429:0,1875);

=grad (z)* ()*cos=…

cos

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции при m=3, n=4

в области, заданной неравенствами:

.

D=AC-B;

A=

B=

C=

D=AC-B=()() — ;

найдем

;

Получим четыре точки: 1) (2,236:7,18), (1,236:0,82), (-2,236:7,18), (-2,236:0,82).

A=8+7,18*7,18−8*7,18=2,11 > 0;

= -114,74 < 0 — нет экстремума функции,

= 45 097,12 > 0 — min функции = 12,279;

= 1767.38 > 0 — min функции = 65,94;

= -160,296 < 0 — нет экстремума функции.

11. Изменить порядок интегрирования при m=3, n=4:

.

=, так как

подставляя x = 0 x = 4 в последние уравнения получим

.

12. Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями, и плоскостью, проходящей через точки, и .

А)см. рис.

— получим уравнение плоскости, через которую проходят точки А, В и С.

7(х-4)+7*16*(z-0)-(y-16)*4+4(z-0)+49(y-16)+16(x-4)=

23x-812+116z-45y=0

Получим пределы интегрирования:

Для z — от 0 до z=7−0,198x+0,388y. Для у — от 0 до у=х². Для х — от 0 до х=76,81(объем фигуры разбиваем пополам).

= =

== =

=232,109 куб.ед.,

13. Вычислить при m=3, n=4, где, , а контур образован линиями, , .

а) непосредственно;

б) по формулам Грина.

P (x, y) = 4y+2x, Q (x, y) = 3x+2y, и контур С образован линиями 16y = 9x³, y = 9, x = 0.

= =

= =

= =

= =

= =

= =

= =32,4 060 912,

где пределы интегрирования были получены:

и у = 9, то откуда х = 2,52.

14. Даны поле и пирамида с вершинами, , ,. Найти при m=3, n=4:

O (0:0:0), A (3:0:0), B (0:4:0), C (0:0:7).

а) поток поля через грань пирамиды в направлении нормали, составляющей острый угол с осью ;

=

= =

==

==

==…

после подстановки и преобразования однородных членов получим:

… = 8423,43 — 3336,03*у — 293,9*z² +118,98*у² — 24y³ + 42y*z², т. е.

поток поля

= 8423,43 — 3336,03*у — 293,9*z² +118,98*у² — 24y³ + 42y*z².

б) поток поля через внешнюю поверхность пирамиды с помощью теоремы Остроградского — Гаусса;

в) циркуляцию поля вдоль замкнутого контура ;

с помощью теоремы Стока (обход контура происходит в положительном направлении относительно внешней нормали к поверхности пирамиды).

rot (F) = ,

в нашем случае

15. Найти первообразные и вычислить значение определенного интеграла:

= .