Методы диффузионной фильтрации и повышения резкости изображений

В последнее время одной из обширных областей применения методов математического моделирования и компьютерных технологий является обработка изображений.

Обработка изображений — это вид обработки информации, в котором исходными данными является изображение или набор изображений, например, фотография или видеоряд. Результатом обработки может быть как изображение, например, отфильтрованное или подготовленное для типографской печати, так и некий набор сведений о нем, как-то количество объектов на изображении или его принадлежность к некоторому классу.

Несколько десятилетий назад обработка изображений по большей части была аналоговой и выполнялась оптическими системами. С развитием компьютерной техники широкое распространение получила цифровая обработка изображений. Под цифровой обработкой изображений понимается обработка двумерных или трехмерных изображений, представленных в цифровой форме. Методы цифровой обработки изображений являются более надежными, гибкими и простыми в реализации, нежели аналоговые методы. В цифровой обработке изображений широко применяется специализированное оборудование, такое как графические микропроцессоры, процессоры с конвейерной обработкой инструкций и многопроцессорные системы.

Существует множество задач, для решения которых применяется цифровая обработка изображений [1−3]. Типичными задачами являются редактирование изображений, распознавание текста, идентификация объектов на изображении, обработка данных измерений, внедрение и распознавание водяных знаков, компрессия и другие. Редактирование изображений включает в себя геометрические преобразования, цветовые преобразования и коррекцию, комбинирование и сегментацию изображений, интерполяцию, сглаживание, ретуширование, расширение динамического диапазона, компенсацию потери резкости, удаление шума и пятен, восстановление поврежденных изображений и т. д. Кроме того цифровая обработка изображений используется для работы с изменяющимся во времени сигналом, таким как, например, видеосъемка или результат работы томографа [4].

Разнообразие и важность задач цифровой обработки изображений обуславливают актуальность разработки широкого спектра математических методов обработки изображений, их реализации в программном обеспечении и применения для решения возникающих задач. Одним из важных классов математических методов обработки изображений являются методы диффузионной фильтрации.

В настоящее время методы диффузионной фильтрации активно применяются в обработке изображений. Одним из первых методов диффузионной фильтрации можно считать многошкальный метод обработки изображений, предложенный в 1971 году в работе Rozenfeld и Thurston [5]. Формальное обоснование этого метода было сделано в работе Witkin [6]. В дальнейшем метод развивался работах Koenderink [7], Babaud, Duda и Witkin [8], Yuille и Poggio [9] и Hummel [10−11].

Основной идеей многошкального метода является то, что вместо исследования одного изображения, происходит работа с семейством изображений. Это семейство состоит из исходного изображения и изображений, полученных сверткой исходного с функцией Гаусса с различной величиной дисперсии.

Пусть f{x, y) — исходное изображение. Тогда его сглаженным семейством называют функцию dsdp, t > 0.

1.1).

При t = О, оно совпадает с исходным, а при t > О представляет собой сглаженный аналог исходного изображения, причем с ростом t интенсивность сглаживания увеличивается.

В работах, посвященных многошкальному методу, Koenderink [7] и Hummel [10] предложили вместо соотношения (1.1), рассматривать семейство сглаженных изображений как решение задачи для уравнения диффузии с постоянным коэффициентом диффузии на плоскости, где в качестве начального условия выбрано исходное изображение ut = Дм, / > 0, (1.2) u (x, y,0) = f (x, y). (1.3).

Переход от рассмотрения свертки исходной функции с функцией Гаусса к решению задачи для уравнения диффузии обусловил появление ряда работ, где рассматривались вопросы применения уравнения диффузии для обработки изображений [12−13].

Первая широко известная работа, в которой был осуществлен переход от линейного уравнения диффузии к нелинейному, была опубликована в 1987 году [14]. Ее авторы, Регопа и Malik, в рамках все того же мультишкального подхода, предложили строить сглаженное семейство изображений решая задачу для нелинейного уравнения диффузии. Их целью было построение сглаженного семейства, в котором контуры объектов не размывались бы и не смещались под воздействием диффузии при больших значениях параметра t. Так как интенсивность сглаживания в каждой точке изображения определяется величиной коэффициента диффузии в этой точке, они использовали коэффициент диффузии, величина которого различна для различных точек на изображении. Их подход, легший затем в основу построения множества различных методов диффузионной фильтрации, состоит в использовании коэффициента диффузии обратно-пропорционального величине модуля градиента изображения [15].

Эта работа положила начало исследованиям в области применения решения различных задач для уравнений в частных производных для фильтрации изображений. Появился класс методов, в которых используется не дивергентная форма уравнения диффузии [3,16−18], методы полной вариации [19−28], методы, определяемые системами уравнений в частных производных [17,29−31], анизотропные методы диффузионной фильтрации [17,32−39] и многие другие. Фундаментальные исследования нелинейных методов диффузионной фильтрации проведены в работах [3,17,37,39−41]. Для численного решения задач, определяющих методы диффузионной фильтрации разработан ряд разностных схем [17,40,42−45].

В настоящий момент методы диффузионной фильтрации применяются в следующих областях: выделение контуров [21,39,46−48], сегментация [49−52], реконструкция изображений [31,39,41,53−60], постобработка неустойчивых результатов измерений [37], компьютерный контроль качества [36,37,60], определение оптического потока [47,61−62], метод активных контуров [47,63], и многие другие. Очень широкое применение методы диффузионной фильтрации нашли в обработке данных медицинских измерений [33,35,37,51,64−69].

Диссертационная работа посвящена разработке новых методов диффузионной фильтрации и повышения резкости изображений, их исследованию, программной реализации и применению для некоторых классов изображений.

В первой главе предложены, изучены и программно реализованы методы диффузионной фильтрации изображений, основанные на решении уравнения диффузии, в котором использована новая модель коэффициента диффузии, зависящая от локальной интегральной интенсивности изображения. Новизна методов диффузионной фильтрации обусловлена использованием в них дополнительной информации о локальной интенсивности фильтруемого изображения. В качестве источника информации выбрана величина интеграла от исходного или текущего изображения взятого по некоторой окрестности фильтруемой точки. Эта величина позволяет отличить области с высокой общей интенсивностью от областей с низкой с тем, чтобы устанавливать для них различную скорость фильтрации. Точки, где величина локальной интегральной интенсивности велика, в большинстве случаев являются содержащими полезную информацию. Процесс диффузии в таких точках должен быть существенно замедлен. Если же интегральная интенсивность мала, то данная точка, скорее всего, принадлежит незначащей зашумленной области, где диффузия должна протекать с нормальной скоростью.

Пусть fix, у) — исходное монохромное изображение. Методы диффузионной фильтрации определяются следующими задачами ut=div{gVu), (x, y) eQ, 0.

2V1.

1 + я2 f (s, p) dsdp Кр{х.у).

1.7) или.

— 1 g (x, y-j)= 1 + A2|V/|2 f{s, p) dsdp > (х, у) еП, Л>0.

V <*(х, у) У.

1.8).

0(x, y) — некоторая окрестность точки (*,>>). В качестве отфильтрованного изображения берется решение задачи (1.4)-(1.7) или (1.4)-(1.6),(1.8) u (x, y, t) в некоторый момент времени Т. Краевое условие (1.5) соответствует тому, что вблизи границы изображения нет полезных объектов.

Наряду с описанными вариантами методов диффузионной фильтрации в первой главе рассмотрен и ряд других, в которых величины градиента и интеграла, входящие в коэффициент диффузии, могут вычисляться на основе текущего изображения u{x, y, t).

Для задачи (1.4)-(1.6) с коэффициентами диффузии вида (1.7), зависящими от начального или текущего изображения, показана устойчивость решения по начальным данным. Предложены разностные схемы для численного решения задач, определяющих построенные методы диффузионной фильтрации, и установлен их порядок аппроксимации.

Методы диффузионной фильтрации программно реализованы в Microsoft® Visual Studio® 2005 на языке С#. Для работы с графическими объектами использован программный интерфейс DirectDraw из коллекции Microsoft® DirectX® 9.0с. В приложение включен модуль пакетной обработки изображений и оригинальный алгоритм автоматического сравнения результатов фильтрации. С использованием разработанного программного обеспечения, проведены расчеты и на ряде примеров продемонстрированы свойства построенных методов, а также их эффективность по сравнению с другими методами диффузионной фильтрации.

Во второй главе разработаны, исследованы и программно реализованы методы диффузионной фильтрации изображений, состоящие в решении уравнения диффузии, в котором использована новая модель источника, зависящая от локальной интегральной интенсивности изображения, в комбинации с различными коэффициентами диффузии.

В первом параграфе рассмотрен знакоопределенный вариант источника, зависящего от локальной интегральной интенсивности. Действие этого отрицательного источника (стока) состоит в следующем. В точках, в малой окрестности которых содержится много точек полезного изображения, величина локальной интегральной интенсивности велика, и в них влияние источника должно быть незначительным. В тех же точках, в окрестности которых находится только шум, источник активно действует, снижая интенсивность шума. Методы диффузионной фильтрации определяются следующей задачей ut = div (gVu)-Q[x, у-f)u, {x, y) eQ, 0.

Q (x, y, f)= 1+ Я f{s, p) dsdp о (х, у) — у (1.12).

Также рассмотрен вариант знакоопределенного нелинейного источника, в котором интеграл по локальной окрестности точки вычисляется от текущего изображения.

Для задачи (1.9)-(1.12) с постоянным коэффициентом диффузии, линейным и нелинейным источниками доказана устойчивость решения по начальным данным. Предложены разностные схемы для численного решения задач, определяющих методы диффузионной фильтрации, и установлен их порядок аппроксимации.

Во втором параграфе предложены методы диффузионной фильтрации, основанные на использовании знакопеременного источника. Появление у источника значений разных знаков позволяет алгоритму наряду с уменьшением интенсивности шума использовать его и для увеличения интенсивности полезных объектов. Один из вариантов знакопеременного источника определяется формулой.

Q (x, y-f) = R jf (s, p) dsdp.

1.13).

0(x.y) где функция R (z) такова, что 0, 2e[0,Z0) — R (z)< 0, z6[Z0,Z,]- Л (г) = 0, ze[0,Z,].

1.14).

Параметр Z0 задает порог отсечения шума. Величина Z, определяется как значение квадрата интеграла функции f (x, y) по окрестности 0(х, у), в которой все точки имеют максимальную интенсивность.

Знакопеременный источник использован для построения новых методов диффузионной фильтрации на базе задач для уравнения диффузии с различными коэффициентами диффузии. Также как и в первом параграфе, рассмотрены адаптивные варианты алгоритма, в котором интеграл зависит от текущего фильтруемого изображения. Рассмотрен метод диффузионной фильтрации со знакопеременным источником и анизотропным коэффициентом диффузии.

Предложены разностные схемы для численного решения задач для уравнения диффузии со знакопеременным источником и различными видами коэффициента диффузии.

Методы диффузионной фильтрации программно реализованы в Microsoft® Visual Studio® 2005 на языке С#. В приложение включен модуль пакетной обработки изображений и оригинальный алгоритм автоматического сравнения результатов фильтрации. С использованием разработанного программного обеспечения, проведены расчеты и на ряде примеров продемонстрированы свойства построенных методов, а также их эффективность по сравнению с другими методами диффузионной фильтрации.

В третьей главе предложены, изучены и программно реализованы методы повышения резкости изображений, базирующиеся на применении метода квазиобращения для решения уравнения диффузии с обратным направлением времени и моделью коэффициента диффузии, зависящей от локальной интегральной интенсивности. Исследуется класс изображений, в которых снижение резкости обусловлено применением к изображению некоторого алгоритма диффузионной фильтрации. Восстановление резкости рассматривается как процесс аналогичный его обратному процессу. Соответственно рассматривается задача с обратным направлением времени для уравнения диффузии. Затем в качестве метода повышения резкости используется метод, основанный на использовании метода квазиобращения для решения задачи с обратным направлением времени для уравнения диффузии. Новый алгоритм повышения резкости, предложенный в работе, использует при повышении резкости информацию о локальной интегральной интенсивности.

Задача, определяющая метод повышения резкости исходного изображения f (x, y), записывается следующим образом ut = Аи-аАги, (x, y) eQ,?>0, и|г = 0, />0, И"(°" У>*) = = 0,0<�у<�ь, иуу (* А 0 = Uyy (*" b, t) = 0,0>, 0) = f (x, у), (х, у) е Q,.

1.17).

1.16).

1.15) где.

I (Ли = -div 1 + Я Л.

1.18) а, а — положительная постоянная.

Рассмотрен аналогичный метод повышения резкости, в котором коэффициент диффузии зависит от интеграла по локальной окрестности от текущего изображения u{x, y, t).

Для численного решения задач, определяющих методы повышения резкости, предложены варианты разностных схем. Разработано программное обеспечение, позволяющее применять описанные в главе алгоритмы для обработки изображений. В него включен модуль, который получает на вход набор изображений и на их основе рассчитывает оптимальные значения некоторых параметров. Исследование показало, что использование зависимости от локальной интегральной интенсивности позволяет сделать алгоритм повышения резкости более устойчивым к локальным возмущениям. Проведены расчеты и в конце главы представлены примеры, иллюстрирующие эффективность использования построенных методов.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, были представлены на нескольких конференциях и опубликованы в ряде изданий. Ссылки на тезисы конференций и печатные работы представлены в общем библиографическом списке в конце диссертации.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Предложены, изучены и программно реализованы методы диффузионной фильтрации изображений, основанные на решении уравнения диффузии, в котором использована новая модель коэффициента диффузии, зависящая от локальной интегральной интенсивности изображения.

2. Разработаны, исследованы и программно реализованы методы диффузионной фильтрации изображений, состоящие в решении уравнения диффузии, в котором использована новая модель источника, зависящая от локальной интегральной интенсивности изображения, в комбинации с различными коэффициентами диффузии.

3. Предложены, изучены и программно реализованы методы повышения резкости изображений, базирующиеся на применении метода квазиобращения для решения уравнения диффузии с обратным направлением времени и моделью коэффициента диффузии, зависящей от локальной интегральной интенсивности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.