Квадратичная функция. 
Элементарные функции

Функция f (x)=ax2+bx2+c, где a, b, c — некоторые действительные числа (a0), называется квадратичной функцией. График квадратичной функции называется параболой.

Квадратичная функция может быть приведена к виду.

f (x)=a (x+b/2a)2-(b2−4ac)/4a, (1).

выражение b2−4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена. Представление квадратной функции в виде (1) называется выделением полного квадрата.

Свойства квадратичной функции и ее график

Область определения квадратичной функции — вся числовая прямая.

При b0 функция не является четной и не является нечетной. При b=0 квадратичная функция — четная.

Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.

Функция имеет единственную критическую точку.

x=-b/(2a). Если a>0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет минимум. При x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает.

Если а<0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.

Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a) и ординатой y= -((b2−4ac)/4a) называется вершиной параболы.

Область изменения функции: при a>0 — множество значений функции [-((b2−4ac)/4a); +); при a<0 — множество значений функции (-;-((b2−4ac)/4a)].

График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c. В случае, если b2−4ac>0, график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b2−4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке x=-b/(2a); если b2−4ac<0, пересечения с осью 0x нет.

Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a) — образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a); 0).

График функции.

f (x)=ax2+bx+c

• (или f (x)=a (x+b/(2a))2-(b2−4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f (x)=x2 следующими преобразованиями:
  • а) параллельным переносом r=(-b/(2a); 0);
  • б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;
  • в) параллельным переносом

r=(0; -((b2−4ac)/(4a))).

Показательная функция.

Показательной функцией называется функция вида f (x)=ax, где а — некоторое положительное действительное число, называемое основанием степени. При а=1 значение показательной функции при любом значении аргумента равно единице, и случай а=1 далее не будет рассматриваться.

Свойства показательной функции.

Область определения функции — вся числовая прямая.

Область значения функции — множество всех положительных чисел.

Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле.

(ax) =axlna

При а>1 функция монотонно возрастает, при а<1 монотонно убывает.

Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.

График любой показательной функции пересекает ось 0y в точке y=1.

График показательной функции — кривая, направленная вогнутостью вверх.

График показательной функции при значении а=2 изображен на рис. 5.

Логарифмическая функция Функцию, обратную показательной функции y=ax, называют логарифмической и обозначают.

y=loga x.

Число а называется основанием логарифмической функции. Логарифмическую функцию с основанием 10 обозначают.

lg x,

а логарифмическую функцию с основанием е обозначают.

ln x.

Свойства логарифмической функции Область определения логарифмической функции — промежуток (0; +).

Область значения логарифмической функции — вся числовая прчмая.

Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле.

(loga x) = 1/(x ln a).

Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0<a<1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает. При любом основании a>0, a1, имеют место равенства.

loga 1 = 0, loga a =1.

При а>1 график логарифмической функции — кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1 — кривая, направленная вогнутостью вверх.

График логарифмической функции при а=2 изображен на рис. 6.

Основное логарифмическое тождество Обратной функцией для показательной функции y=ax будет логарифмическая функция x =loga y. По свойствам взаимно обратных функций f и f-I для всех x из области определения функции f-I (х). В частности, для показательной и логарифмической функции равенство (1) принимает вид.

alogay=y.

Равенство (2) часто называют основным логарифмическим тождеством. При любых положительных х, у для логарифмической функции верны следующие равенства, которые могут быть получены как следствия основного логарифмического тождества (2) и свойства показательной функции:

loga (xy)=loga x+loga y;

loga (x/y)= loga x-loga y;

loga (x)= loga x (- любое действительное число);

logaa=1;

loga x =(logb x/ logb a) (b — действительное число, b>0, b1).

В частности из последней формулы при а=е, b=10 получается равенство.

ln x = (1/(ln e))lg x. (3).

Число lg e называют модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным и обозначают буквой М, а формулу (3) обычно записывают в виде.

lg x =M ln x.

Обратно пропорциональная зависимость

Переменную y называют обратно пропорциональной переменной x, если значения этих переменных связаны равенством y = k/x, где k — некоторое действительное число, отличное от нуля. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Если считать x независимой переменной, а y — зависимой, то формула y = k/x определяет y как функцию от x. График функции y = k/x называется гиперболой.

Свойства функции y = k/x.

Область определения функции — множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.

Область значения функции — множество всех действительных чисел, за исключением числа 0.

Функция f (x) = k/x — нечетная, и ее график симметричен относительно начала координат. Функция f (x) = k/x непрерывна и дифференцируема во всей области определения. f (x) = -k/x2. Функция критических точек не имеет.

Функция f (x) = k/x при k>0 монотонно убывает в (-, 0) и (0, +), а при k<0 монотонно возрастает в тех же промежутках.

График функции f (x) = k/x при k>0 в промежутке (0, +) направлен вогнутостью вверх, а в промежутке (-, 0) — вогнутостью вниз. При k<0 промежуток вогнутости вверх (-, 0), промежуток вогнутости вниз (0, +).

График функции f (x) = k/x для значения k=1 изображен на рис. 7.

тригонометрические функции.

Функции sin, cos, tg, ctg называются тригонометрическими функциями угла. Кроме основных тригонометрических функций sin, cos, tg, ctg существуют еще две тригонометрические функции угла — секанс и косеканс, обозначаемые sec и cosec соответственно.

sin х.

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах.

Свойства функции sin х.

Область определения — множество всех действительных чисел.

Область значения — промежуток [-1; 1].

Функция sin х — нечетная: sin (-х)=- sin х.

Функция sin х — периодическая. Наименьший положительный период равен 2:

sin (х+2)= sin х.

Нули функции: sin х=0 при x=n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

sin х>0 при x (2n; +2n), n Z,.

sin х<0 при x (+2n; 2+2n), n Z.

Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:

(sin х) =cos x.

Функция sin х возрастает при x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n Z, и убывает при x ((/2)+2n; ((3)/2)+ 2n), n Z.

Функция sin х имеет минимальные значения, равные -1, при х=(-/2)+2n, n Z, и максимальные значения, равные 1, при х=(/2)+2n, n Z.

График функции y=sin х изображен на рис. 8. График функции sin х называют синусоидой.

Свойства функции cos х Область определения — множество всех действительных чисел.

Область значения — промежуток [-1; 1].

Функция cos х — четная: cos (-х)=cos х.

Функция cos х — периодическая. Наименьший положительный период равен 2:

cos (х+2)= cos х.

Нули функции: cos х=0 при x=(/2)+2n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

cos х>0 при x ((-/2)+2n; (/2)+2n)), n Z,.

cos х<0 при x ((/2)+2n); ((3)/2)+ 2n)), n Z.

Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:

(cos х) =-sin x.

Функция cos х возрастает при x (-+2n; 2n), n Z,.

и убывает при x (2n; + 2n), n Z.

Функция cos х имеет минимальные значения, равные -1, при х=+2n, n Z, и максимальные значения, равные 1, при х=2n, n Z.

График функции y=cos х изображен на рис. 9.

Свойства функции tg х Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме числа х=/2+n, n Z.

Область значения — множество всех действительных чисел.

Функция tg х — нечетная: tg (-х)=- tg х.

Функция tg х — периодическая. Наименьший положительный период функции равен :

tg (х+)= tg х.

Нули функции: tg х=0 при x=n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

tg х>0 при x (n; (/2)+n), n Z,.

tg х<0 при x ((-/2)+n; n), n Z.

Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(tg х) =1/cos2 x.

Функция tg х возрастает в каждом из промежутков.

((-/2)+n; (/2)+n), n Z,.

График функции y=tg х изображен на рис. 10. График функции tg х называют тангенсоидой.

Свойства функции сtg х.

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=n, n Z.

Область значения — множество всех действительных чисел.

Функция сtg х — нечетная: сtg (-х)=- сtg х.

Функция сtg х — периодическая. Наименьший положительный период функции равен :

сtg (х+)= ctg х.

Нули функции: ctg х=0 при x=(/2)+n, n Z.

Промежутки знакопостоянства:

ctg х>0 при x (n; (/2)+n), n Z,.

ctg х<0 при x ((/2)+n; (n+1)), n Z.

Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(ctg х) =-(1/sin2 x).

Функция ctg х убывает в каждом из промежутков (n; (n+1)), n Z.

График функции y=сtg х изображен на рис. 11.

Свойства функции sec х.

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида.

х=(/2)+n, n Z.

Область значения:

(-; 1][1; +).

Функция sec х — четная: sec (-х)= sec х.

Функция sec х — периодическая. Наименьший положительный период функции равен 2:

sec (х+2)= sec х.

Функция sec x ни при каком значении аргумента не обращается в нуль.

Промежутки знакопостоянства:

sec х>0 при x ((-/2)+2n; (/2)+2n), n Z,.

sec х<0 при x ((/2)+2n; (3/2)+2n), n Z.

Функция sec х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

(sec х) =sin x/cos2 x.

Функция sec х возрастает в промежутках.

(2n; (/2)+ 2n), ((/2)+ 2n; + 2n], n Z,.

и убывает в промежутках.

[+ 2n; (3/2)+ 2n), ((3/2)+ 2n; 2(n+1)], n Z.

График функции y=sec х изображен на рис. 12.

Свойства функции cosec х Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=n, n Z.

Область значения:

(-; -1][1; +).

Функция cosec х — нечетная: cosec (-х)= -cosec х.

Функция cosec х — периодическая. Наименьший положительный период функции равен 2:

cosec (х+2)= cosec х.

Функция cosec x ни при каком значении аргумента не обращается в нуль.

Промежутки знакопостоянства:

cosec х>0 при x (2n; +2n), n Z,.

cosec х<0 при x (+2n; 2(n+1)), n Z.

Функция cosec х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения функции:

(cosec х) =-(cos x/sin2 x).

Функция cosec х возрастает в промежутках.

[(/2)+ 2n; + 2n), (+ 2n; (3/2)+ 2n], n Z,.

и убывает в промежутках.

(2n; (/2)+ 2n], ((3/2)+ 2n; 2+2n), n Z.

График функции y=cosec х изображен на рис. 13.