Сглаживание временных рядов с помощью скользящих средних

Применение простых скользящих средних

При анализе рядов динамики возникает важная задача: определение основной тенденции в развитии исследуемого явления. В некоторых случаях общая тенденция ясно прослеживается в динамике показателя, в других ситуациях она может не просматриваться из-за ощутимых случайных колебаний. Например, в отдельные моменты времени сильные колебания в курсах акций могут заслонить наличие тенденции к росту или снижению этого показателя.

На практике для обнаружения общей тенденции часто используют простой прием — укрупнение интервалов. Например, ряд недельных данных можно преобразовать в ряд месячной динамики, ряд квартальных данных заменить годовыми уровнями. Уровни нового ряда могут быть получены суммированием уровней исходного ряда либо могут представлять средние значения [2].

При выявлении тенденции развития используется распространенный прием — сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Методы сглаживания можно условно разделить на два класса, опирающиеся на различные подходы: аналитический и алгоритмический.

Аналитический подход основан на допущении, что исследователь может задать общий вид функции, описывающей регулярную, неслучайную составляющую. Например, на основе визуального и содержательного экономического анализа динамики временного ряда предполагается, что трендовая составляющая может быть описана с помощью показательной функции [2].

Тогда на следующем этапе будет проведена статистическая оценка неизвестных коэффициентов модели, а затем определены сглаженные значения уровней временного ряда путем подстановки соответствующего значения временного параметра в полученное уравнение (заданное в явном аналитическом виде). В алгоритмическом подходе отказываются от ограничительного допущения, свойственного аналитическому. Процедуры этого класса не предполагают описания динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предоставляют исследователю лишь алгоритм расчета неслучайной составляющей в любой заданный момент времени t. Методы сглаживания временных рядов с помощью скользящих средних относятся к этому подходу.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов.

• 1. Определяют длину интервала сглаживания l, включающего в себя l последовательных уровней ряда (l
• 2. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал сглаживания «скользит» по ряду с шагом, равным l .
• 3. Рассчитывают средние арифметические из уровней ряда, образующих каждый участок.
• 4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения. При этом удобно брать длину интервала сглаживания l в виде нечетного числа l=2р+1, так как в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала [2].

Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.

Процедуры скользящих средних опираются на известную теорему Вейерштрасса, согласно которой «любая гладкая функция при самых общих допущениях может быть локально (т.е. в ограниченном интервале изменения ее аргумента t) представлена алгебраическим полиномом подходящей степени» [2].

При реализации простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке проводится по прямой (по полиному первого порядка). Таким образом, осуществляется аппроксимация неслучайной составляющей с помощью линейной функции времени.

Рассмотрим активный участок с длиной интервала сглаживания l=2р+1. Перенесем начало координат в середину временного интервала, т. е. будем рассматривать моменты времени:.

Неизвестные коэффициенты линейной модели подбираются таким образом, что бы минимизировать критерий метода наименьших квадратов (МНК).

Очевидно, что за счет выполненного переноса начала координат, а сглаженное значение в центральной точке активного участка определяется коэффициентом. Из первого уравнения системы получаем выражение для этого коэффициента:

Таким образом, в качестве сглаженного значения в центральной точке активного участка следует брать среднее арифметическое из уровней ряда, образующих этот участок. Полученный вывод — обоснование ранее рассмотренного алгоритма сглаживания.

Процедура сглаживания приводит к устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний на практике часто требуется использовать скользящие средние с длиной интервала сглаживания, равной 4 или 12, но при этом не будет выполняться условие нечетности. Поэтому при четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать 4- и 12-членную скользящую среднюю.

Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического ряда на поминает прямую. Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и для исследователя желательно сохранить мелкие волны, то целесообразно использовать взвешенную скользящую среднюю.