Единственность представления действительного иррационального числа правильной бесконечной цепной дробью

Исходя из результатов, которые мы получили выше, можно утверждать, что для каждого действительного иррационального существует представление в виде бесконечной непрерывной дроби. Таким представлением является разложение в бесконечную непрерывную дробь, так как предел подходящих дробей последней равен как раз .

Возникает вопрос, сколько представлений действительного иррационального в виде бесконечных непрерывных дробей существует вообще? Покажем, что только одно.

Другими словами: представление действительного иррационального в виде бесконечной непрерывной дроби всегда является разложением с помощью выделения целой части. Докажем это важное утверждение.

Пусть действительное иррациональное представлено бесконечной непрерывной дробью, то есть =. Назовем бесконечную непрерывную дробь остатком данной дроби порядка k. Так как любая бесконечная непрерывная дробь представляет некоторое действительное число, то это утверждение относится также и к остатку. Обозначим его через ,.

=, то есть =.

=, то есть =.

Из соотношения.

получаем.

то есть = (1).

Так как при, то все >1, а <1; следовательно,, то есть (2). Но так как, то и, ввиду равенства (1) равно остаточному числу второго порядка для, то есть. Тогда далее, а и так далее. Вообще из следует, а .

Элементы данной бесконечной непрерывной дроби получаются из его значения последовательным выделением целой части, что и требовалось доказать.

Вместе с тем мы установили, что остаток бесконечной непрерывной дроби = порядка k+1 совпадает с ее остаточным числом порядка k+1 .

Исследования этого параграфа приводят нас к следующему основному результату: каждое иррациональное действительное число единственным образом представляется бесконечной цепной дробью вида и, наоборот, каждой бесконечной цепной дроби соответствует единственное иррациональное действительное число, которое она представляет. Поэтому множество всех действительных чисел взаимно однозначно отображается на множестве всех непрерывных дробей (если условиться, что для конечных непрерывных дробей берется последнее). При этом рациональным числам соответствуют конечные непрерывные дроби, а иррациональным — бесконечные дроби.