Задачи. 
Теория алгебраических структур

Задача 1. Является ли алгебраической системой?

Решение. Для того, чтобы можно было говорить об алгебраической системе, мы должны удостовериться, что все операции алгебраические — т. е. определены для любых элементов и замкнуты (т.е. результат принадлежит носителю). В данном случае операция + - алгебраическая, а операция — не является алгебраической, т.к. разность двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом. Таким образом, не является алгебраической системой.

Пример. Одной из основных моделей в математике является упорядоченное множество. Сигнатура этой модели состоит из единственного отношения порядка. Важным частным случаем служит индуктивное упорядоченное множество.

Как уже было замечено, любое полукольцо, в частности замкнутое полукольцо, является алгебраической системой, сигнатура которой помимо операций полукольца содержит отношение естественного порядка полукольца.

Рассмотрим теперь некоторое поле, множество всех ненулевых элементов которого разбито на подмножества и. Другими словами, по определению полагаем, что для каждого выполняется в точности одно из трех условий: или. Элементы назовем (условно) положительными, а элементы — отрицательными элементами данного поля. При этом, по определению, выполняются следующие условия:

1) для каждогоа отрицательно тогда и только тогда, когда положительно, т. е.; 2) если, то и .

Введенные условия вполне естественны: первое означает, что элемент, противоположный к отрицательному, является положительным и наоборот, а второе — что сумма и произведение положительных элементов положительны.

Введем теперь на множествебинарное отношениетак, что (читается: «меньше «, по определению, если разность есть положительный элемент). Естественно, полагаем, что означает или. Можно показать, что введенное таким образом отношение на носителе поля является отношением линейного порядка, т. е. для любых двух элементов или, или .

Поле вместе с отношением порядка, введенным указанным образом, называют упорядоченным полем. Таким образом, упорядоченное поле можно рассматривать как алгебраическую систему, в которой алгебра является полем, а отношение порядкаопределено так, как сказано выше.

Пусть, кроме этого, отношение порядка в упорядоченном поле обладает следующим свойством непрерывности: каковы бы ни были непустые множества и, у которых для любых двух элементов и выполняется, существует такой элемент, что для всехивыполняется двойное неравенство. Тогда получаем алгебраическую систему, называемую непрерывным упорядоченным полем. Важнейший пример непрерывного упорядоченного поля — поле действительных чисел.

Заметим, что поле рациональных чисел, являясь упорядоченным полем, уже не будет непрерывным. Это вытекает из того, что можно построить такие два собственных подмножества, что для всех и для всех будет иметь место, но нельзя найти такое рациональное число, чтобы выполнялось. Такими двумя подмножествами и в множестве рациональных чисел могут быть, например,. Дело в том, что, как можно убедиться, не существует наибольшего рационального числа в множестве. В множестве же наибольшее из всех чисел, квадрат которых не больше 2, существует и равно .