Элементы теории эллиптических функций

Общие свойства эллиптических функций

Определение эллиптической функции.

Эллиптической функцией называется мероморфная функция, допускающая периоды, которое все могут быть образованы посредством сложения и вычитания из двух первоначальных периодов 2(0 и 2(о имеющих мнимое отношение.

Короче говоря, мероморфная функция называется эллиптической, если она двоякопериодическая с периодами 2о> и 2а/, отношение которых т есть мнимое число. Такая функция f (z) удовлетворяет соотношениям

откуда вытекает, что.

где тип обозначают любые целые числа, положительные, отрицательные или нули.

Одна из наших задач будет заключаться в том, чтобы построить посредством того или иного аналитического аппарата элементы, с помощью которых можно выразить в конечном виде все эллиптические функции. Иными словами, мы ставим проблему дать аналитическое представление любой эллиптической функции, отправляясь от вышеформулированного её дескриптивного определения. Для рациональных функций мы имеем два аналитических представления. В основе первого из них лежит задание полюсов рациональной функции и соответствующих им главных частей, что приводит нас к разложению рациональной функции на простейшие дроби. В основе второго аналитического представления рациональной функции лежит задание её нулей и полюсов, что даёт нам возможность представить её в виде отношения произведений линейных множителей.

Аналогично при решении вышеупомянутой задачи для эллиптической функции мы установим две формулы, из которых одна будет давать её разложение на сумму простейших элементов, с явным выделением её полюсов и их главных частей, а другая будет представлять эллиптическую функцию посредством отношения произведений элементарных множителей с явным выделением её нулей и полюсов. Прежде чем приступить к осуществлению этой задачи, мы установим ряд общих свойств эллиптической функции.

'Замечание. При определении эллиптической функции мы предпола- ' ;

гали отношение ?= — ее первоначальных периодов мнимым числом.

Можно было бы доказать, что если это отношение есть число действительное, то функция является просто периодической или приводится к постоянному. Кроме того, во всем дальнейшем мы будем считать коэффициент «'.

при мнимои части отношения т= — положительным, так как этого мы всегдаг можем достигнуть путём изменения знака у одного из первоначальных периодов.